Sự tương đương giữa hai định nghĩa về một danh mục có các đối tượng theo cấp số nhân

Question

Danh mục có sản phẩm được cho là có cấp số nhân nếu đối với tất cả các đối tượng$x, y$ tồn tại một đối tượng $y^x$ được trang bị một mũi tên $e\colon x\times y^x\to y$ sao cho tất cả các đối tượng $z$ và tất cả các mũi tên $f\colon x\times z\to y$ có một mũi tên duy nhất $\bar{f}\colon z\to y^x$ thỏa mãn $e\circ (id_x\times\bar{f})=f$.

Tôi thấy rằng nếu một danh mục có cấp số nhân, thì $f\mapsto \bar{f}$ là sự đẳng cấu tự nhiên giữa $hom(x\times z, y)$ và $hom(z, y^x)$ với nghịch đảo $\bar{f}\mapsto id_x\times\bar{f}$. Do đó, functor$x\times (-)$ còn lại liền kề với $(-)^x$.

Tôi đang tự hỏi về trò chuyện: nếu $C$ là một danh mục với các sản phẩm như vậy $x\times (-)$ có một tiếp giáp đúng, nó có tuân theo điều đó không $C$ có cấp số nhân?

Đặc biệt, nếu chúng ta chỉ cho rằng $x\times (-)$ có một phụ cận đúng, làm thế nào để chúng tôi trang bị $y^x$ với mũi tên $e\colon x\times y^x\to y$. Ngoài ra, làm thế nào để chúng ta suy luận rằng phương trình$e\circ (id_x\times\bar{f})=f$ giữ chính xác?

Bằng cách nào đó, sự tồn tại của một phụ cận bên phải của $x\times (-)$ cảm thấy yếu hơn và trừu tượng hơn so với định nghĩa thuộc tính phổ quát của một loại có cấp số nhân được đưa ra ở trên.

Answer 1

Tôi cho rằng một người cần AC để chọn một đối tượng $y^x$ cho mỗi $x$ và $y$.

Chấp nhận điều này, người ta nhận được mũi tên $e$từ hình thức của đơn vị / counits trong tính từ. Nếu$F$ là một phụ cận đúng của $x\times(-)$ rồi tự nhiên, $$\text{hom}(a,Fy)\cong\text{hom}(x\times a,y).$$ Lấy $a=Fy$. Sau đó$$\text{hom}(Fy,Fy)\cong\text{hom}(x\times Fy,y).$$ Danh tính ở bên trái ánh xạ đến sự đồng hình $e:x\times Fy\to y$Phía bên phải. Chúng tôi đang biểu thị$Fy$ như $y^x$, và điều này $e:x\times y^x\to y$ là bản đồ hàm mũ.