Loạt bài này dành cho việc xây dựng tích phân, mối quan hệ của nó với đạo hàm và các ứng dụng liên quan. Trong giải tích phổ thông, chúng ta đã quen thuộc với hình ảnh hàm số f(x) tùy ý trên khoảng [a, b] . Đó là một trong những hình ảnh mà chúng ta nhìn thấy khi học cách tính diện tích dưới đường cong y = f(x) .

Bức tranh hình học ở trên hẳn đã quen thuộc với bạn.

Như bạn được dạy ở trường, điều đơn giản nhất cần làm là cắt khoảng [a, b] thành các phần bằng nhau và đặt một hình chữ nhật trên mỗi phần, bên dưới đường cong, vừa chạm vào đường cong.

Chúng tôi tính tổng diện tích của các hình chữ nhật và khi số lượng mảnh ghép tăng lên, tổng diện tích sẽ tiệm cận với diện tích mà chúng tôi muốn. Đó thực chất là công trình Newton.

Tuy nhiên, có một vài vấn đề với cách tiếp cận này. Thứ nhất, không dễ dàng nhận thấy rằng tổng diện tích của các hình chữ nhật tiến đến một giới hạn khi số lượng các khoảng tăng lên. Thứ hai, với định nghĩa này, bạn có thể tìm được một mệnh của các hàm f và g sao cho

Để tránh điều này, chúng tôi sẽ sử dụng một cái gì đó tránh được vấn đề này, giúp chúng tôi linh hoạt hơn.

Công trình xây dựng

Xét một phân hoạch P của khoảng [a, b], là một dãy số hữu hạn.

Đầu tiên và cuối cùng a, b là điểm kết thúc.

Như chúng ta có thể thấy ở trên, các điểm chia khoảng thành n phần. Ví dụ nếu n = 4 .

Bây giờ giả sử rằng f : [a, b] → R là một hàm bị chặn. Đối với mỗi i , chúng tôi đặt mi và Mi như sau.

mi biểu thị 'infimum', là giá trị thấp nhất mà f lấy trên mảnh thứ i .

Mi biểu thị ' cực đại ', là giá trị cao nhất mà f nhận được trên mảnh thứ i .

Để hiểu điều này một cách hình ảnh, chúng ta hãy nhìn vào sơ đồ sau đây.

Phần màu cam là tối thiểu, phần màu xanh là tối cao. Điều này cho chúng ta biết chiều cao của hình chữ nhật bên dưới đường cong dựa trên khoảng và chiều cao của hình chữ nhật bên trên đường cong.

Tổng diện tích của các hình chữ nhật bên dưới đường cong là tất cả các hình chữ nhật màu cam trên a và b .

Tổng diện tích của các hình chữ nhật trên đường cong là tất cả các hình chữ nhật màu cam và màu xanh trên a và b .

Và đó là một nơi tốt để dừng lại. Trong bài viết tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét định nghĩa của tổng trên và tổng dưới cũng như các vấn đề liên quan.

Cảm ơn bạn đã đọc. Đừng quên vỗ tay cho bài viết nếu bạn thấy nó sâu sắc.

Bạn cũng có thể ủng hộ tôi bằng ko-fi ☕ .