Biến đổi Fourier của $L^1$ hàm có đạo hàm trong $L^1$ và biến mất ở vô cực là trong $L^1$

Question

$f \in L^1(\mathbb{R})$ là một chức năng khác biệt để $f' \in L^1(\mathbb{R}) \cap C_0(\mathbb{R})$, chứng minh rằng biến đổi fourier của $f$ lưu ý $\hat{f}$ trong $L^1 (\mathbb{R})$

Tôi biết nếu $f,f'\in L^1(\mathbb{R})$, sau đó $\widehat{f'}(t)=it\hat{f}(t)$nhưng tôi không biết làm thế nào để sử dụng điều kiện đạo hàm biến mất ở vô cùng. Bất kỳ ý tưởng sẽ hữu ích.

Answer 1

Hai gợi ý:

Sử dụng thực tế rằng $f'$ nhất định thể hiện điều đó $f' \in L^2$ và việc sử dụng Plancherel.

Lưu ý rằng $f'$ bị ràng buộc và kể từ$|f'|^2 \le \sup |f'| |f'|$ chúng ta thấy rằng $f' \in L^2$. Sau đó, Plancherel cho thấy rằng$\hat{f'} \in L^2$. Lưu ý rằng$\hat{f'}(\omega) = i\omega \hat{f(\omega)$.

Sử dụng Cauchy Schwartz và lưu ý rằng đối với $\omega \neq 0$ chúng ta có $\hat{f}(\omega) = \omega \hat{f}(\omega) \cdot {1 \over \omega}$.

Đối với $\omega \neq 0$ chúng ta có $|\hat{f}(\omega)| = |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|}$ và Cauchy Schwartz cho $\int|\hat{f}| = \int |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega = \int |\hat{f'}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega \le \| \hat{f'}\| \| \omega \mapsto {1 \over |\omega|} \|$.