Các hệ thống hỗn loạn có tồn tại mà không thể dự đoán được ngay cả ở giới hạn của điều kiện ban đầu chính xác vô hạn và tài nguyên vô hạn không?
Tôi có hiểu biết của một giáo dân về lý thuyết hỗn loạn , điều đó dường như chỉ ra rằng sử dụng các điều kiện ban đầu có độ chính xác hữu hạn và tài nguyên tính toán hữu hạn, không thể dự đoán được các hệ thống hỗn loạn sau một khoảng thời gian.
Câu hỏi của tôi là điều gì xảy ra trong giới hạn của việc tăng độ chính xác của các điều kiện và tài nguyên ban đầu đến vô cùng: Hệ thống vẫn hỗn loạn, hay cửa sổ dự đoán cũng phân kỳ đến vô cùng?
Cụ thể hãy xem xét các điều kiện sau:
Chúng ta có một hệ thống hỗn loạn.
Chúng tôi tính toán khoảng thời gian dự đoán $t_\text{pred}(e,p,m,s)$ đưa ra một biên lỗi hữu hạn $e$, cho độ chính xác hữu hạn của các điều kiện ban đầu $p$và một máy tính có bộ nhớ hữu hạn $m$ hoạt động với tốc độ hữu hạn $s$.
Chúng tôi tính toán cùng một khoảng thời gian dự đoán $t_\text{pred}(e,p,m,s)$ khi độ chính xác, bộ nhớ và tốc độ khác nhau đến vô cùng (nhưng $e$ còn hữu hạn).
Nếu đối với tất cả các hệ thống hỗn loạn, cửa sổ thời gian phân kỳ đến vô cùng, thì câu trả lời cho câu hỏi này là không .
Nếu bất kỳ hệ thống nào được tìm thấy ở đâu $t_\text{pred}$có thể vẫn hữu hạn, thì câu trả lời cho câu hỏi này là có .
Vì những câu hỏi này có vẻ rất xa vời với thực tế nên tôi sẽ thêm một động lực: Tôi cảm thấy câu trả lời của câu hỏi này có một tác động quan trọng trong thần học. Cụ thể nếu câu trả lời là có thì điều đó sẽ loại trừ một cách hợp lý khả năng một vị thần không can thiệp, biết tất cả (bao gồm cả tương lai), người đã thiết kế vũ trụ với một mục đích, bởi vì anh ta / cô ta sẽ không thể thực hiện những tính toán này ngay cả khi anh ấy / cô ấy có sức mạnh vô hạn.
Trả lời
Một thuộc tính quan trọng của các hệ thống hỗn loạn là chúng có tính xác định: Không có yếu tố ngẫu nhiên nào trong mô hình. Các điều kiện ban đầu xác định chính xác tương lai của hệ thống.
Nếu tôi mô phỏng một mô hình hỗn loạn với cùng điều kiện ban đầu¹ trên máy tính thực hai lần, tôi thu được kết quả chính xác như nhau. Điều này chỉ khác với giải pháp đúng cho các điều kiện ban đầu của tôi do độ chính xác hữu hạn của số học dấu phẩy động (và vì hệ thống hỗn loạn, sự khác biệt này có thể lớn) ². Và tất nhiên, trong trường hợp thuần túy giả thuyết mà tôi muốn mô phỏng một hệ thống thực biệt lập mà tôi có một mô hình chính xác, tôi gặp vấn đề là tôi không thể biểu diễn hoàn hảo các điều kiện thực ban đầu của mình dưới dạng số dấu phẩy động.
Nếu tôi có sẵn độ chính xác tùy ý và tài nguyên máy tính vô hạn cũng như kiến thức hoàn hảo về các điều kiện ban đầu, tôi có thể dự đoán một hệ thống hỗn loạn một cách hoàn hảo chỉ bằng cách mô phỏng nó. Đối với một hệ thống thời gian rời rạc, lý do duy nhất tôi cần bộ nhớ vô hạn và tốc độ tính toán là lưu trữ và làm việc với các số chính xác tùy ý³ (và tất nhiên nếu tôi muốn đi vô hạn trong tương lai). Đối với hệ thống thời gian liên tục, có một lý do khác khiến tôi cần tốc độ tính toán vô hạn, đó là để thực hiện tích phân số với các bước thời gian nhỏ tùy ý.
¹ và các quy tắc tương tự của số học dấu phẩy động
² đối với hệ thống thời gian liên tục, sự không chính xác vốn có của tích hợp số cũng gây ra lỗi
³ vì tôi có vô số chữ số