Các số đại số p-adic là gì?

Jan 12 2021

"Được $p$, các yếu tố của $\mathbb{Q}_p$ đại số hơn $\mathbb{Q}$? "

Định kỳ tôi tự hỏi điều này và bắt gặp câu hỏi mathoverflow này dường như đang hỏi điều tương tự. Câu trả lời đã chọn dường như không trả lời cho câu hỏi đó (mà tôi có thể thấy) và googling "p-adic algebraic number" trả về câu hỏi đó là kết quả hàng đầu. Tại thời điểm đó, tôi từ bỏ và chờ đợi cho đến khi tôi quên và thử lại. Vì vậy, lần này tôi sẽ hỏi:

Bạn có biết về một đặc điểm (thuận tiện hơn) của $\overline{\mathbb{Q}}\cap\mathbb{Q}_p$ hoặc có tham chiếu cho "$p$-các số đại số? "

Tôi không chắc có đặc điểm của "số đại số thực" thỏa mãn hơn nhiều so với "số đại số thực", nhưng giá trị tuyệt đối p-adic vốn dĩ là "đại số" hơn giá trị tuyệt đối thực và có những khác biệt như $p$ khác nhau, vậy chúng là gì?

Trả lời

2 reuns Jan 13 2021 at 00:17

Để cho $O_\overline{\Bbb{Q}}$ là số nguyên đại số, lấy một số lý tưởng tối đa $\mathfrak{P}\subset O_\overline{\Bbb{Q}}$ chứa đựng $p$, để cho $G=\{ \sigma\in Gal(\overline{\Bbb{Q}}/\Bbb{Q}), \sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}\}$, sau đó $G\cong Gal(\overline{\Bbb{Q}}_p/\Bbb{Q}_p)$$\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ là (đẳng cấu với) trường con của $\overline{\Bbb{Q}}$ được sửa chữa bởi $G$.

Tương đương, hãy $S$ là tập hợp các phần mở rộng đại số (bậc vô hạn) $K/\Bbb{Q}$ cho một số lý tưởng tối đa $\mathfrak{p}\subset O_K$ có phải như vậy không $O_K/\mathfrak{p}\cong \Bbb{Z}/p\Bbb{Z},p\not \in \mathfrak{p}^2$. Sau đó$\Bbb{Z}_p$ là (đẳng cấu với) sự hoàn thành của $O_K$ tại $\mathfrak{p}$, và $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ là (đẳng cấu với) bất kỳ phần tử cực đại nào của $S$.