Cho thấy $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ có một giải pháp duy nhất trên $\mathbb{R}$

Question

Cho thấy $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ có một giải pháp duy nhất trên $\mathbb{R}$.

Đây là một phần của một trong những vấn đề trong Berkeley Problems in Mathematics.

Giải pháp của tôi (nỗ lực) khá ngắn hơn so với giải pháp được trình bày bởi các tác giả (họ cho thấy rằng một giải pháp duy nhất tồn tại trên một số vùng lân cận của $(0,54)$ sử dụng phiên bản cục bộ của định lý Picard và sau đó sử dụng IFT để tìm một giải pháp rõ ràng cho vùng lân cận này và chứng minh rằng giải pháp này hợp lệ trên $\mathbb{R}$) vì vậy tôi muốn kiểm tra xem tôi đã không bỏ lỡ điều gì đó.

Đây là giải pháp của tôi:

Để cho $f(x,y)= 5y +28\cos(y)$. Sửa chữa$h >0$. Theo tính chất cơ bản của hàm liên tục$f$ liên tục trên $[-h,h] \times \mathbb{R}$ và hơn thế nữa Lipschitz trong $y$trên dải này. Điều này tiếp theo từ,

$|f_y (x,y)|=|5-28\sin(y)| \leq 5+28|\sin(y)| \leq 5+28 = 33$ và MVT.

Định lý Picard được áp dụng và chúng ta thấy rằng IVP có một nghiệm duy nhất trên $[-h,h]$.

Nhưng $h$ là tùy ý, vì vậy IVP có một giải pháp cho tất cả $\mathbb{R}$. $\blacksquare$

Điều này có chính xác? Nói chung, tôi hơi không chắc về cách chứng minh tính duy nhất / tồn tại của các giải pháp toàn cầu ... tiếp tục phân tích hay Picard toàn cầu ?!

---

Lưu ý rằng phiên bản của định lý Picard tôi đang sử dụng là

IVP $y'(x) = f(x,y), y(a)=b$, có một giải pháp duy nhất trên $\mathbb{R}$ cung cấp, $\forall h:$

• $f$ liên tục trên $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$

• $f$ Lipschitz in y on $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$.

Answer 1

Ý tưởng của bạn là đúng. Với vế phải tuyến tính phụ, bạn sẽ có một giải pháp toàn cục. Ví dụ: ý tưởng bằng chứng được khám phá trong

• Sự tồn tại của giải pháp cho ODE bậc nhất. Có gì để được chứng minh?
• Bất đẳng thức trong chứng minh nghiệm duy nhất của ODE

Vấn đề với nguồn của bạn có thể là họ đã không nỗ lực để chứng minh phiên bản toàn cầu hơn của định lý sau phiên bản bản địa hóa tiêu chuẩn. Vì vậy, họ phải tập hợp giải pháp từ nhiều giải pháp cục bộ.

Lưu ý rằng với công thức của điều kiện của bạn, bạn chỉ nhận được một giải pháp trên $[a-h,a+h]$, không có gì ngạc nhiên vì đây là miền đã khám phá của ODE.