Có thể là $2^{2A}+2^{2B}$ là một số bình phương?
Cho A và B là hai số nguyên dương lớn hơn $0$. Có thể là$2^{2A}+2^{2B}$ là một số bình phương?
Tôi gặp khó khăn với bài tập này vì tôi có cảm giác câu trả lời là không, nhưng tôi không thể giải thích rõ hơn về bằng chứng. Cho đến nay những gì tôi nghĩ là giả định rằng có một số nguyên$C>0$ như vậy mà $2^{2A}+2^{2B}=C^2$. Sau đó$$(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$$Tôi đang cố gắng để xem liệu biểu hiện trước đó có thể giữ được mâu thuẫn hay không nhưng tôi đã bị mắc kẹt. Tất cả những gì tôi có thể tìm thấy là$C$cần phải là một số chẵn nhưng điều đó dường như không đưa tôi đến đâu. Tôi đánh giá cao bất kỳ sự giúp đỡ nào.
Cảm ơn trước!
Trả lời
Không mất tính tổng quát, hãy $A>B$. Sau đó$2^{2A}+2^{2B}=2^{2B}(2^{2A-2B}+1)$ là một hình vuông ngụ ý $2^{2A-2B}+1$ là một hình vuông như $2^{2B}$là một hình vuông. Nhưng điều này là không thể vì$2^{2A-2B}$ là một hình vuông.
Câu trả lời của Shubhrajit Bhattacharya đưa ra một bằng chứng đơn giản, trực tiếp rằng $2^{2A}+2^{2B}$không thể là một hình vuông. Nhưng nói cho vui thôi, hãy kết thúc cách tiếp cận của OP (mà ban đầu tôi nghĩ đã dẫn đến ngõ cụt).
Nếu $(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$, sau đó $(2^A+2^B+C)(2^A+2^B-C)=2^{A+B+1}$, có nghĩa là $2^A+2^B+C$ và $2^A+2^B-C$ cả hai đều là sức mạnh của $2$và rõ ràng là các quyền hạn khác nhau của$2$, Nói $2^a$ và $2^b$ với $a\gt b$ và $a+b=A+B+1$. Nhưng điều này ngụ ý
$$2(2^A+2^B)=2^a+2^b$$
Nếu bây giờ chúng ta giả định, không mất đi tính tổng quát, rằng $A\ge B$, chúng ta có
$$2^{B+1}(2^{A-B}+1)=2^b(2^{a-b}+1)$$
Hiện nay $a\gt b$ ngụ ý $2^{a-b}+1$ là một số lẻ lớn hơn $1$, từ đó nó theo sau rằng chúng ta phải có $A\gt B$ (nếu không thì bên tay trái là sức mạnh của $2$, không phải bội số của một số lẻ lớn hơn $1$). Điều này có nghĩa là$b=B+1$ và $a-b=A-B$, từ đó chúng tôi nhận được
$$a+b=(a-b)+2b=(A-B)+2(B+1)=A+B+2$$
trái ngược với $a+b=A+B+1$.
Nhận xét: Tôi hơi ngạc nhiên về bản chất của sự mâu thuẫn ở đây, và phải kiểm tra lại công việc của mình một cách cẩn thận để đảm bảo rằng tôi đã không mắc một sai lầm số học ngu ngốc.
Cứ làm đi.
Giả định mà không mất đi tính tổng quát rằng $A \le B$ vì thế
$2^{2A} + 2^{2B}=$
$2^{2A} (1 + 2^{2B-2A})=$
$(2^A)^2 [1 + 2^{2B-2A}]=$
$(2^A)^2 [(2^{B-A})^2 + 1]$.
Vì vậy, nếu đó là một hình vuông hoàn hảo thì chúng ta phải có $(2^{B-A})^2 + 1$ là một hình vuông hoàn hảo.
Nhưng $(2^{B-A})^2$là một hình vuông hoàn hảo nên chúng ta có hai hình vuông hoàn hảo liên tiếp. Sẽ dễ dàng thuyết phục bản thân rằng lần duy nhất từng xảy ra là$0^2$ và $1^2$. (Chứng minh như phụ lục).
Vì vậy, cách duy nhất điều này có thể xảy ra là nếu $(2^{B-A})^2 = 0$ và $(2^{B-A})^2 + 1=1$.
Nhưng $2^{B-A} = 0$ là không thể.
====
Addendume: Khi đó chỉ có hai ô vuông liên tiếp là $0$ và $1$.
Chứng minh: Giả sử $m^2 = n^2 + 1$. Ở đâu$m,n$ là các số nguyên không âm. $n^2 < m^2 = n^2 + 1 \le n^2 + 2n + 1= (n+1)^2$ vì thế $n < m \le m+1$. Nhưng số nguyên duy nhất giữa$n$ (độc quyền) và $n+1$ (bao gồm) là $n+1$ vì thế $m = n+1$. Và vì thế$n^2 + 1 = m^2 = (n+1) = n^2 + 2n + 1$ vì thế $2n = 0$ và $n = 0$ và $m =1$.
Giả định rằng $2^{2A}+2^{2B}$là một hình vuông hoàn hảo. Không mất tính tổng quát, giả sử$A \geqslant B$. Sau đó, hãy$A-B=x$, Ở đâu $x$là một số nguyên không âm. Sau đó chúng tôi có:$$2^{2A}+2^{2B}=(2^B)^2 \cdot (2^{2x}+1)$$Bây giờ, nếu LHS là một hình vuông hoàn hảo, thì RHS cũng phải là một hình vuông hoàn hảo. Nó theo sau đó$2^{2x}+1$là một hình vuông hoàn hảo. Hãy để nó là$n^2$. Sau đó chúng tôi có:$$2^{2x}=n^2-1=(n-1)(n+1)$$ Bây giờ, chúng ta cần $n-1$ và $n+1$ để cả hai trở thành sức mạnh hoàn hảo của $2$. Điều này chỉ có thể xảy ra đối với$n=3$. Tuy nhiên, ngay cả khi đó, chúng tôi sẽ chỉ có$2^{2x}=8$ điều đó là không thể như $x$là một số nguyên. Do đó, không có giải pháp nào tồn tại.
Chúng ta sẽ có $k^2=4^{A}+4^{B}\equiv 1+1= 2\pmod 3$, không thể như $k^2 \equiv 0,1 \pmod 3$.