Có thể phân biệt được không $\sin x$ đối với $\cos x$ từ những nguyên tắc đầu tiên?

Question

Hôm nay tôi đã làm một bài tập thực hành cho bài kiểm tra tuyển sinh Đại học, nơi nó yêu cầu tôi phân biệt $\sin x$ đối với $\cos x$. Giải pháp tôi tìm thấy đã sử dụng quy tắc chuỗi:

\begin{align} \frac{d\sin x}{d\cos x}&=\frac{d\sin x}{dx}\cdot\frac{dx}{d\cos x} \\ &=\cos x\cdot\frac{1}{-\sin x} \\ &=-\cot x \end{align}

Tuy nhiên, càng nghĩ về vấn đề này, nó càng khiến tôi cảm thấy hơi khó chịu. Tôi không thực sự hiểu ý nghĩa của việc phân biệt một chức năng với một chức năng khác, nếu điều đó thậm chí có thể. Vì vậy, tôi đã cố gắng phân biệt$\sin x$ đối với $\cos x$ từ những nguyên tắc đầu tiên, để tôi biết mình đang làm việc với cái gì:

$$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\lim_{h \to 0}\frac{\sin (\cos x+h)-\sin(\cos x)}{h} $$

Ý tưởng đằng sau điều này là để điều trị $\cos x$giống như bất kỳ biến nào khác. Tuy nhiên, điều này đã cho tôi câu trả lời không chính xác về$(\cos \circ \cos)(x)$, và tôi không thể hiểu tại sao. Có cách suy nghĩ trực quan về ý nghĩa của việc phân biệt một chức năng với một chức năng khác không?

Answer 1

Bạn muốn đo lường sự thay đổi trong $\sin{x}$ liên quan đến sự thay đổi trong $\cos{x}$. Vậy bạn muốn$\sin{x}$ như là một chức năng của $\cos{x}$, không giống với $\sin(\cos{x})$. Đó là vấn đề cơ bản của bạn.

Những gì bạn muốn: nếu $x \in [0, \pi]$, sau đó $\sin{x} = \sqrt{1 - \cos^2{x}}$, và vì thế \begin{align*} \frac{d(\sin{x})}{d(\cos{x})} &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1 - (\cos{x} + h)^2} - \sqrt{1 - \cos^2{x}}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{[1 - (\cos{x} + h)^2] - (1 - \cos^2{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{-h(h + 2\cos{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \frac{-2\cos{x}}{2\sqrt{1 - \cos^2{x}}} = -\frac{\cos{x}}{\sin{x}} = -\cot{x} \end{align*} như mong muốn.

Bài tập: điều gì xảy ra khi $x \in [\pi, 2\pi]$?

Answer 2

Bộ $y=\cos x$, Sau đó $x\in[0,\pi]$, $$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\left.\frac{d\sin(\arccos y)}{dy}\right|_{y=\cos x}=-\left.\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right|_{y=\cos x}=-\frac{\cos x}{\sin x}=-\cot x, $$ Còn giới hạn thì bạn nên viết $$ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(y+h)-\sin(\arccos(y))}{h}=\\ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(\cos x+h)-\sin x}{h}. $$