Đặc điểm của các bộ được kết nối cục bộ được kết nối
$T_1$ không gian $X$ là cả iff kết nối và kết nối cục bộ cho mọi nắp mở $\{U_\alpha\}$ của $X$ và cặp điểm $x_1,x_2$ của $X$, tồn tại một chuỗi hữu hạn $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ và một chuỗi các tập con mở được kết nối $V_1,\cdots,V_n$ như vậy mà
- $x_1\in V_1$, $x_2\in V_n$
- $V_i\cap V_j\neq\varnothing$ iff $|i-j|\leq1$
- $V_i\subseteq U_{\alpha_i}$ cho tất cả $i=1,\cdots,n$
Bây giờ, để kết nối $X$, chúng tôi có điều đó cho $x_1,x_2$ của $X$ và mở nắp $\{U_\alpha\}$, chúng ta có thể nhận được một chuỗi $U_{\alpha_1},\cdots,U_{\alpha_n}$ từ trang bìa như vậy
- $x_1\in U_{\alpha_1}$, $x_2\in U_{\alpha_n}$
- $U_{\alpha_i}\cap U_{\alpha_j}\neq\varnothing$ iff $|i-j|\leq1$
Ngoài ra, như $X$ được kết nối cục bộ, mỗi thành phần của một tập hợp mở được mở.
Bây giờ, tôi tin rằng $V_i$ yêu cầu là các thành phần của $U_{\alpha_i}$, được chọn một cách thích hợp để Điều kiện $1$ và $2$giữ. Điều này sẽ tự động xử lý nếu tình trạng$3$. Tuy nhiên, tôi đã không thể hiển thị điều này. Bất kỳ trợ giúp sẽ được đánh giá cao!
Trả lời
Để cho $X$thỏa mãn "điều kiện mở nắp". Sau đó$X$ được kết nối bởi vì bất kỳ hai $x_1, x_2 \in X$ được chứa trong một tập hợp con được kết nối của $X$ (lấy sự kết hợp của $V_i$). Để thể hiện điều đó$X$ được kết nối cục bộ, hãy $x_1 \in X$ và $U_1$ là một khu phố cởi mở của $x_1$. Chúng ta phải tìm một khu phố mở được kết nối$V_1$ của $x_1$ như vậy mà $V_1 \subset U_1$. Bộ$U = X \setminus \{x_1\}$ mở cửa từ $X$ Là $T_1$(đây là nơi duy nhất mà chúng tôi cần$T_1$-yêu cầu). vì thế$\mathcal U = \{U_1, U\}$ là một trang bìa mở của $X$. Chọn bất kì$x_2 \in X$ (nếu bạn muốn $x_2 = x_1$). Tồn tại một chuỗi mở được kết nối$V_i$như trong tình trạng của bạn. Chúng ta có$x_1 \in V_1$. Hơn thế nữa,$V_1$ được chứa trong một số thành viên của $\mathcal U$. Từ$x_1 \in V_1$, không thể vậy $V_1 \subset U$. Như vậy$V_1 \subset U_1$.
Tiếp theo chúng tôi chứng minh điều ngược lại. Chúng ta hãy bắt đầu với những điều sau
Bổ đề: Cho $M_1,\ldots, M_r$ là tập hợp con của $X$ như vậy mà $M_i \cap M_{i+1} \ne \emptyset$ cho $i =1,\ldots,r-1$. Sau đó, tồn tại một tập hợp con$\{k_1,\ldots,k_n\} \subset \{1,\ldots,r\}$ như vậy mà $1 = k_1 < k_2 <\ldots k_{n-1} < k_n=r$ và $M_{k_i} \cap M_{k_j} \ne \emptyset$ iff $\lvert i - j \rvert \le 1$.
Bằng chứng: Gọi $\{k_1,\ldots,k_n\} \subset \{1,\ldots,r\}$ tốt nếu$1 = k_1 < k_2 <\ldots k_{n-1} < k_n=r$ và $M_{k_i} \cap M_{k_{i+1}} \ne \emptyset$ cho $i = 1,\ldots,n-1$. Thông suốt$\{1,\ldots,r\}$là tốt đẹp. Có một điều tốt đẹp$\{k_1,\ldots,k_n\}$với tối thiểu$n$ (có khả năng $n = r$). Giả định$M_{k_i} \cap M_{k_j} \ne \emptyset$ cho một số cặp $(i,j)$ như vậy mà $\lvert i - j \rvert > 1$. Wlog chúng tôi có thể giả định$i < j$. Sau đó$\{k'_1 = k_1,\ldots,k'_i = k_i,k'_{i+1} = k_j,\ldots,k'_{n+1-(j-i)} = k_n\}$ tốt với $n+1-(j-i) < n$, một sự mâu thuẫn.
Bổ đề cho thấy rằng trong "điều kiện mở nắp", chúng ta có thể thay thế 2. bằng điều kiện (chỉ dường như) yếu hơn $$V_i \cap V_{i+1} \ne \emptyset, i =1,\ldots,n-1 .$$ Để cho $\mathcal U$ là một trang bìa mở của $X$. Đối với$x_1,x_2 \in X$ định nghĩa $x_1 \sim x_2$ nếu tồn tại một chuỗi hữu hạn các tập con mở được kết nối $V_1,\cdots,V_n$ như vậy mà
- Mỗi $V_i$ được chứa trong một số $U_{\alpha_i} \in \mathcal U$.
- $x_1\in V_1$, $x_2\in V_n$
- $V_i\cap V_{i+1} \neq\emptyset$ cho $i = 1,\ldots,n-1$
$\sim$là một quan hệ tương đương. Tính phản xạ là do kết nối cục bộ (mỗi$x$ được chứa trong một số $U \in \mathcal U$, bây giờ lấy $n=1$ và $V_1$ bất kỳ kết nối nào mở như vậy $x \in V_1 \subset U$). Tính đối xứng và độ nhạy là điều hiển nhiên.
Các lớp tương đương $[x_1]$ đối với $\sim $ đang mở: Nếu $x_2 \in [x_1]$, chúng tôi tìm thấy một chuỗi các $V_i$như trên. Nhưng sau đó rõ ràng$x_2 \in V_n \subset [x_1]$. Do đó, các lớp tương đương tạo thành một phân vùng của$X$thành các bộ mở rời rạc từng cặp. Từ$X$được kết nối, chỉ có thể có một lớp tương đương. Do đó bất kỳ hai$x_1,x_2 \in X$ là tương đương để hoàn thành bằng chứng.
Trong câu trả lời này, tôi đưa ra đặc điểm chuỗi của tính kết nối. Đọc nó trước. Tôi không có "iff$|i-j| \le 1$"một phần ở đó, nhưng điều đó có thể đạt được bằng cách sử dụng $T_1$-ness of $X$, kiểm tra bằng chứng. Cá nhân tôi không thích trộn các tiên đề phân tách vào như vậy.
Nếu $X$ được kết nối và kết nối cục bộ, hãy $\{U_{\alpha \in A}\}$ là một trang bìa mở của $X$. Sau đó cho mỗi$x \in X$ chúng ta có $\alpha_x$ và mở kết nối $V_x$ như vậy mà $x \in V_x \subseteq U_{\alpha_x}$. Sau đó, áp dụng đặc điểm chuỗi về tính kết nối của$X$ đến $\{V_x: x \in X\}$ và chúng tôi đã chỉ ra một hướng, sự tồn tại của vỏ bọc đó từ sự kết nối và kết nối cục bộ.
Làm thế nào để xem chứng minh $X$kết nối và kết nối cục bộ từ "điều kiện dây chuyền sửa đổi"? Kết nối dễ dàng vì chúng tôi chỉ cần áp dụng trực tiếp điều kiện vào vỏ$\{U,V\}$ khi nào $U,V$ là sự ngắt kết nối của $X$.
Moreoever, hãy $O$ được mở, $p \in O$ và để $C$ là một thành phần của $p$ trong $O$. Áp dụng thực tế vào trang bìa mở$\{O,X\setminus \{p\}\}$ của $X$. Đối với$y \in C$ và $p$ chúng tôi thấy cởi mở và kết nối $V_1,\ldots V_n$ như vậy mà $p \in V_1$, $q \in V_n$ và $V_i \subseteq O$ hoặc là $V_i \subseteq X\setminus \{p\}$ cho tất cả $i$ và liền kề $V_i$giao nhau. Trong thực tế, "chuỗi" phải có chiều dài$2$ nếu bạn nghĩ về nó (!), vì vậy $n=2$. Nhưng sau đó$V_1 \cup V_2$ được kết nối và một tập hợp con của $O$ và cho thấy rằng $q$ là một điểm bên trong của $C$ và $X$ được kết nối cục bộ.