để cho $\mathbf a$ và $\mathbf b$là vectơ 3D. Tìm một $3\times3$ ma trận $\mathbf R$ như vậy mà $\mathbf {Ra} = \mathbf a_{\bot \mathbf b}$.

Question

Xin chào vì tiêu đề nói rằng tôi đang cố gắng tìm cái này.

để cho $\mathbf a$ và $\mathbf b$là vectơ 3D. Tìm một$3\times3$ ma trận $\mathbf R$ như vậy mà $\mathbf {Ra} = \mathbf a_{\bot \mathbf b}$.

theo bài tập của tôi câu trả lời là

$$ R = \frac{1}{b^2} \begin{bmatrix} b^2_y+b^2_z & -b_xb_y & -b_xb_z \\ -b_xb_y & b^2_x+b^2_z & -b_yb_z \\ -b_xb_z & -b_yb_z & b^2_x+b^2_y \\ \end{bmatrix} $$

Tôi đã không thể đạt được giải pháp này và tôi đã cố gắng đạt được

$$ a_{\bot b} = a - a_{||b} = a - \frac{a\cdot b}{b^2}b $$ và tôi có thể thay thế $ a_{||b} $ cho biểu thức của nó dưới dạng tích ma trận $$ a_{||b} = \frac{1}{b^2}bb^{\mathrm T}a $$ và đây là sản phẩm bên ngoài nên nó trở thành $$a_{\bot b} = \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix} b^2_x & b_xb_y & b_xb_z \\ b_xb_y & b^2_y & b_yb_z \\ b_xb_z & b_yb_z & b^2_z+b^2_y \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \\ \end{bmatrix}$$

từ cái này tôi có thể nhận được $$ Ra = a - \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix} b^2_x & b_xb_y & b_xb_z \\ b_xb_y & b^2_y & b_yb_z \\ b_xb_z & b_yb_z & b^2_z+b^2_y \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \\ \end{bmatrix} $$ Đây là chừng mực mà tôi có thể nhận được và tôi không chắc các bước cần thiết để đưa phương trình cuối cùng về phương trình đầu tiên.

Cảm ơn bất kỳ thông tin chi tiết nào mà bất kỳ ai có thể cung cấp.

Answer 1

Một vài bước cuối cùng sẽ là $$ \begin{align*} Ra &= a - \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}a\\ &= \frac{1}{b^2}\Bigg(b^2I - \begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}\Bigg)a \\ \end{align*}$$ Thông báo rằng $b^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2$. Vì thế$$\begin{align*} Ra &= \frac{1}{b^2}\Bigg(\begin{bmatrix}b_x^2 + b_y^2 + b_z^2& 0 & 0\\ 0 & b_x^2 + b_y^2 + b_z^2 & 0\\ 0 & 0 & b_x^2 + b_y^2 + b_z^2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}\Bigg)a \\ &= \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_y^2 + b_z^2 & -b_xb_y & -b_xb_z\\ -b_xb_y & b_x^2 + b_z^2 & -b_yb_z\\ -b_xb_z & -b_yb_z & b_x^2 + b_y^2\end{bmatrix}a\end{align*} $$ Vì thế $$ R = \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_y^2 + b_z^2 & -b_xb_y & -b_xb_z\\ -b_xb_y & b_x^2 + b_z^2 & -b_yb_z\\ -b_xb_z & -b_yb_z & b_x^2 + b_y^2\end{bmatrix}$$