Mật độ và sự phân bố của những dung dịch BIẾT về số lượng hoặc phân tích của Riemann $\zeta(1/2 + r i)=0?$
Chúng ta biết phỏng đoán về giả thuyết Riemann là về những số không tầm thường đang bật $$(1/2 + r i)$$ cho một số $r \in \mathbb{R}$ của hàm zeta Riemann.
Câu hỏi của tôi là biết được bao nhiêu về mật độ và sự phân bố của các giải pháp KNOWN về mặt số học hoặc phân tích của$$\zeta(1/2 + r i)=0?$$
Tôi đã tìm thấy một bài đăng liên quan nhưng nó đã được khoảng 8 năm trước, vì vậy có lẽ chúng tôi có một bản cập nhật tốt hơn?
Mật độ trung bình của các số không bình thường của hàm Riemann zeta
Trả lời
Theo ý kiến khiêm tốn của tôi, một bài báo quan trọng là bài báo được xuất bản trong năm $2014$của G.Franca và A.LeClair . Đặc biệt, chúng cung cấp một phương trình gần đúng rất tốt và đơn giản (phương trình$(229)$ trong bài báo được liên kết). $$\Im\left(r _{n}\right) \sim \frac{2 \pi \left(n-\frac{11}{8}\right)}{W\left(\frac{n-\frac{11}{8}}{e}\right)}$$ Ở đâu $W(.)$ là hàm Lambert;
Lặp lại một số tính toán của họ cho $n=10^k$, chúng ta có $$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{approximation} & \text{solution} \\ 1 & 50.233653 & 49.773832 \\ 2 & 235.98727 & 236.52423 \\ 3 & 1419.5178 & 1419.4225 \\ 4 & 9877.6296 & 9877.7827 \\ 5 & 74920.891 & 74920.827 \\ 6 & 600269.64 & 600269.68 \end{array} \right)$$
Tính toán của Mathematica 8.0.1 về tính gần đúng của Eric Weisstein cho các điểm Gram:
(*Start*)
(*Mathematica*)
(*The derivation of the Gram points approximation by Weisstein in \
Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)
9.6769067871658668471,
17.847836512849620314,
23.171660819240722718,
27.671198036307304064,
31.718791394674873194,
35.467863110275089697, ...
Dẫn xuất Mathematica 8.0.1 được sửa đổi của tính gần đúng của Eric Weisstein cho điểm Franca-LeClair:
(*Start*)
(*Mathematica*)
(*Analogous to the derivation of the Gram points approximation by \
Weisstein in Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n + 1/2)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)
14.521346953065628168,
20.655740355699557203
25.492675432264310733,
29.739411632309551244,
33.624531888500487851,
37.257370086972976394, ...
Khó khăn cơ bản để có được một tiệm cận chính xác cho các số không Riemann zeta là hàm theta Riemann-Siegel không thể nghịch đảo. Những người sử dụng đã chỉ ra cho tôi rằng tiệm cận chính xác của các số không Riemann zeta đã được biết đến trong khoảng 120 năm và tiệm cận chính xác là nghịch đảo chức năng của hàm theta Riemann-Siegel, theo Wikipedia tiếng Pháp.