Một đứa trẻ lật 7 đồng xu công bằng. Tìm xác suất để có ít nhất hai đầu xuất hiện, trong đó có ít nhất ba đầu xuất hiện.

Question

Câu hỏi: Một đứa trẻ tung 7 đồng tiền công bằng. Có các số nguyên dương tương đối nguyên tố m và n sao cho$\frac{m}{n}$là xác suất để có ít nhất hai đầu xuất hiện, với điều kiện có ít nhất ba mặt xuất hiện. Tìm (m + n).

Từ ngôn ngữ của câu hỏi, tôi đã phát hiện ra rằng nó đang hỏi xác suất có điều kiện cho các sự kiện:

1. Sự xuất hiện của ít nhất 2 đầu = sự kiện A

1. Xuất hiện ít nhất 3 đuôi = sự kiện B tức là. $$P(E)=\frac{P(A and B)}{P(B)}$$

Cách tiếp cận của tôi:

Nhằm mục đích tìm ra $P(B)$, Tôi đã tìm thấy xác suất để không có đuôi xảy ra ($\frac{1}{2^{7}}$), chỉ có một đuôi xảy ra ($\frac{7}{2^{7}}$) và chỉ có hai đuôi xảy ra ($\frac{\binom{7}{2}}{2^{7}}$), cộng và trừ đi 1 tôi thu được,$$P(B)=1-\frac{29}{2^{7}}$$ Bây giờ để tìm $P(AandB)$ Tôi đã chọn 5 lần tung bất kỳ trong số 7 lần tung có sẵn trong $\binom{7}{5}$ cách và sắp xếp 3 đầu và 2 đầu trong $\frac{5!}{2!3!}$ theo cách khác, bây giờ điều gì xảy ra ở hai nơi còn lại không quan trọng (vì điều kiện ban đầu đã được thỏa mãn), vì vậy xác suất sẽ là $$\binom{7}{5}\frac{5!}{3!2!}\frac{1}{2^{5}}$$ nhưng giá trị này lớn hơn 1, tôi không thể tìm ra lỗi trong các giả định và tính toán của mình, vui lòng giúp đỡ.

Tôi biết câu hỏi này đã được trả lời ở đây , nhưng tôi muốn làm rõ tôi đã sai hoặc đánh giá sai ở đâu.

Answer 1

Ý tưởng và tính toán của bạn cho $\mathbb{P}(B)$đúng. Ý tưởng của bạn cho$\mathbb{P}(A \cap B)$là không chính xác, vì nó không quan trọng hai giá trị khác trong chuỗi của bạn là gì. Như @ Fawkes4494d3 vừa chỉ ra một cách chính xác, bạn đếm các sự kiện nhiều lần khi làm theo cách này. Để có một giải pháp thích hợp, hãy nghĩ về các sự kiện mà bạn có cả 2 đầu trở lên và 3 đuôi trở lên. Các sự kiện duy nhất thỏa mãn sự kết hợp này là 3,4 hoặc 5 đuôi. Vì vậy, hãy nghĩ về cách bạn có thể tính toán xác suất của những sự kiện này.