Nếu $\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$. Sau đó tính toán $\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$. Đây $i=\sqrt{-1}$
HỎI: Nếu$\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$ , $\text{ }$sau đó tính toán $$\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$$ Đây $i=\sqrt{-1}$ .
TRẢ LỜI CỦA TÔI: Tôi đã thực hiện nó bằng cách sử dụng Công thức bậc hai và Định lý De Moivre. Hãy để tôi viết ra công việc của tôi trước khi tôi đề xuất nghi ngờ của mình .. Đây là cách tôi đã làm điều đó ..
Giải phương trình chúng ta nhận được $$x^2-(i\sqrt{2})x-1=0$$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2} \pm \sqrt{(i\sqrt{2})^2+4}}{2} $$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2}\pm\sqrt{2}}{2}$$ Lấy $x=(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)=e^{\frac{i\pi}4}$
Bây giờ chúng tôi biết rằng $2187=(273\times8)+3$
$$\therefore x^{2187}=e^{2187\times \frac{i\pi}4}=e^{(273\times 2\pi + \frac{3\pi}4)i}=e^{\frac{{3\pi}}{4}i}=\frac{i-1}{\sqrt{2}}$$
$$\therefore x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}= \frac{i-1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{i-1}$$ $$=\frac{(i-1)^2-2}{(i-1)\sqrt{2}}$$ $$=\frac{2}{\sqrt{2}}\frac{(1+i)}{(1-i)}$$ $$=\frac{\sqrt{2}}{2} (1+i)^2$$ $$=\boxed{\sqrt{2}i}$$
Bây giờ câu hỏi đầu tiên của tôi là, quan hệ bậc hai cho chúng ta hai giá trị khác nhau cho$x$. Một cái mà tôi đã tìm ra câu trả lời$\sqrt {2}i$ và điều khác, $\big(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\big)$mà tôi đã bỏ lại phía sau. Bây giờ làm việc với điều đó, tôi thấy rằng góc hóa ra là$\frac{\pi}{10}$và mọi thứ trở nên phức tạp hơn nhiều sau đó. Câu trả lời chính thức cho câu hỏi này là$\sqrt{2}i$ (phù hợp với những gì tôi đã tìm hiểu).
Tôi nghi ngờ là tại sao chúng ta không xem xét giá trị khác của $x$ ?
Và có phương pháp thay thế nào (tốt hơn là đơn giản hơn) để giải quyết vấn đề này không?
Cảm ơn bạn rất nhiều vì đã giúp đỡ và hỗ trợ .. :)
Trả lời
$2187=3^7$. Đây là một manh mối. Quyền hạn của$3$là đáng kể. Hiện nay$$\left(x-\frac1x\right)^3=(i\sqrt2)^3=-2i\sqrt2$$ và $$\left(x-\frac1x\right)^3=x^3-\frac1{x^3}-3\left(x-\frac1x\right) =x^3-\frac1{x^3}-3i\sqrt2.$$ Vì thế $$x^3-\frac1{x^3}=i\sqrt2.$$ Lặp lại điều này, $$x^9-\frac1{x^9}=i\sqrt2,$$ $$x^{27}-\frac1{x^{27}}=i\sqrt2$$ v.v ... Cuối cùng, $$x^{2187}-\frac1{x^{2187}}=i\sqrt2.$$
Trên thực tế, có thể dễ dàng xác minh rằng cả hai giá trị của $x$mang lại kết quả tương tự. Đối với toàn bộ vấn đề, bạn chỉ cần công thức De Moivre hai lần (hai dòng giấy không cần giải thích).
Đối với $x=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$, bạn đã chỉ ra câu trả lời là $i\sqrt 2$.
Bây giờ, hãy $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i=\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}$. Sử dụng công thức De Moivre và thực tế là$$z-\frac{1}{z}=2i\sin(\arg(z))$$ bạn lấy $$x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}} = x^3-\frac{1}{x^3} = 2i\sin\frac{9\pi}{4}=i\sqrt 2$$ Làm xong!