Nhẫn nhỏ gọn S-unital là vô tận
Nó là nổi tiếng mà Hausdorff compact topo unital nhẫn là profinite. Bằng chứng tổng quát cho (trái hoặc phải) các vòng đơn kim (nghĩa là các vòng sao cho tất cả$r\in R$ chúng ta có $r\in Rr$ hoặc cho tất cả $r\in R$ chúng ta có $r\in rR$).
Có tài liệu tham khảo cho thực tế tổng quát hơn này không? Có sự khái quát hóa nào nữa không (tức là một lớp vòng thú vị, chứa các vòng đơn kim s, mà Hausdorff thu gọn ngụ ý là vô hạn)?
(Lưu ý rằng điều này không đúng với tất cả các vòng, vì bất kỳ nhóm abelian Hausdorff nhỏ gọn nào $A$, chúng tôi có thể ban tặng $A$ với phép nhân 0, làm cho nó trở thành một vòng tôpô Hausdorff nhỏ gọn.)
Trả lời
Điều này về cơ bản được trả lời trong một trong những câu trả lời cho Có phải mọi vành tôpô nhỏ gọn là một vành vô hạn? .
Nếu một chiếc nhẫn nhỏ gọn $R$ hoặc không thừa nhận yếu tố nào $r\neq 0$ với $rR=0$hoặc điều kiện kép trái-phải thì nó là vô hạn. Đây là điều kiện mà bản đồ nhân tạo ra và nhúng$R$ vào endomorphisms của kép Pontryagin của nhóm phụ gia của nó, đó là những gì bạn sử dụng để chứng minh hoàn toàn không kết nối.
Xem Thm 3 của Trên Nhẫn Topologica Nhỏ gọn. bởi Hirotada Anzaihttps://projecteuclid.org/euclid.pja/1195573244