Mục tiêu của bài viết này: Định nghĩa và tính toán giá trị này bằng số. Hằng số sẽ xuất hiện trong Toán học.

Kiến thức giả định: Tích phân (Giải tích), Khái niệm hội tụ

Sự định nghĩa

Còn được gọi là hằng số Euler (đừng nhầm lẫn với e = 2.718281828459045…), Hằng số Euler-Mascheroni được ký hiệu là gamma viết thường (γ) được định nghĩa là,

“Giới hạn n → ∞ của hiệu giữa chuỗi điều hòa và log tự nhiên của n .”

Hoặc,

Hằng số này có giá trị xấp xỉ γ = 0,57721566490153286060651209008240243104215933593992… không tồn tại. Nhưng vẫn chưa biết hằng số đó là siêu việt hay đại số. Trên thực tế, người ta thậm chí còn không biết γ là hợp lý hay không hợp lý.

Nếu hằng số này là hữu tỷ, thì mẫu số phải lớn hơn 10²⁴²⁰⁸⁰.

Tính giá trị của γ

Hãy thay thế các giá trị khác nhau của n trong phương trình được xác định ở trên của γ,

Ở đây chúng ta có thể thấy rằng khi n tăng lên và trở nên ngày càng lớn hơn, hoặc khi nó có xu hướng tiến đến vô cùng, giá trị sẽ tiến gần hơn đến giá trị được xác định ban đầu của hằng số này. Con số này là Hằng số Euler-Mascheroni .

Biểu diễn đồ thị của γ

Vùng màu cam dưới đường cong y = 1/ x là hàm logarit tự nhiên. Điều này là do tích phân của hoặc diện tích bên dưới đồ thị y = 1/x là ln x .

Vùng màu xanh lá cây của các thanh là biểu diễn đồ họa của chuỗi điều hòa.

Sự khác biệt giữa hai khu vực này được tô bởi các chấm màu xanh lam (bên dưới) đại diện cho hằng số Euler — Mascheroni,

Bằng chứng hội tụ

Chúng ta biết rằng khi n tiến dần đến vô cùng, hàm xác định hằng số Euler—Mascheroni hội tụ đến một giá trị hằng số nhất định. Nhưng làm thế nào để chúng ta chứng minh sự hội tụ này mà không cần bất kỳ vũ lực nào?

Vì vậy, chúng tôi biết rằng,

Ở đâu,

Hãy lấy,

cung cấp cho hằng số khi n có xu hướng vô cùng.

Để chứng minh sự hội tụ, ta sẽ

1. Chứng minh rằng dãy giảm dần và khi đó,
2. Chứng minh rằng nó bị chặn .

Bây giờ, biểu diễn ln⁡(1 +x ) bằng chuỗi Taylor ,

Lấy x = -1/ n ,

Sử dụng (3) trong (2),

Như vậy,

Do đó, dãy đơn điệu giảm nghiêm ngặt .

II. TRÌNH TỰ BỊ GIỚI HẠN

a) Cận trên của dãy

Bây giờ chúng ta đã biết rằng dãy giảm dần, nên số hạng đầu tiên của dãy sẽ là số hạng lớn nhất.

Vì vậy, thuật ngữ đầu tiên là,

Do đó, giới hạn trên là 1 .

a) Cận dưới của dãy

Chúng ta biết rằng,

Điều này có thể được viết là,

Hiện nay,

Chúng ta có thể định nghĩa e^x là

Nếu chúng ta bỏ qua trường hợp x = 0,

Cho nên,

Lấy khúc gỗ tự nhiên ở cả hai bên,

Từ (5),

Lấy tổng kết ở cả hai bên,

Từ (4),

Thêm H_n vào cả hai vế của phương trình,

Hoặc,

Do đó, giới hạn dưới là 0.

Do đó, G_n là một dãy đơn điệu giảm nghiêm ngặt với các giới hạn,

Do đó, dãy hội tụ đến một giới hạn γ , sao cho, 0 < γ < 1.

Giới hạn của dãy G_n khi n → ∞ là hằng số Euler—Mascheroni .