Một số ví dụ sớm nhất về tiếp tục phân tích là gì?

Question

Tôi tự hỏi làm thế nào Riemann biết điều đó $\zeta(z)$có thể được mở rộng sang một miền lớn hơn. Đặc biệt, ai là người đầu tiên mở rộng miền của một hàm có giá trị phức một cách rõ ràng và đó là hàm gì?

Answer 1

(Đã mở rộng 1/26/21

Trước tiên, hãy để tôi chỉ ra cho những người nói tiếng Anh không phải là bản ngữ rằng việc sử dụng mạo từ 'a' trong cụm từ 'một hàm có giá trị phức tạp' có nghĩa là câu hỏi không chỉ liên quan đến Riemann hoặc bất kỳ hàm zeta nào khác. Nó bao gồm bất kỳ hàm nào có miền là một số tập hợp thực, vì vậy tôi giải thích câu hỏi là "Ai là người đầu tiên đã xuất bản phần mở rộng miền của một hàm quan trọng từ một số tập hợp thực đến một số miền liên tục của phức hợp, và chức năng đó là gì? " Đối với tôi, ý nghĩa chính xác của thuật ngữ tiếp tục phân tích và liệu nó có phải là duy nhất hay không là một câu hỏi khác.

Câu đầu tiên và một số nhận xét tập trung vào hàm Riemann zeta. Riemann không đứng một mình và sở thích của ông rộng hơn nhiều so với sự tập trung đôi khi gần như ám ảnh ngày nay vào RH có thể ngụ ý. Mối quan tâm của ông bao gồm khá nhiều phân tích phức tạp, vì vậy việc ông xem xét các phần mở rộng của các hàm thực thành các hàm phức tạp là điều tự nhiên.

Thật khó tin (một vài kiểu thiên vị khu vực) rằng không một nhà toán học nào trước Euler, thức dậy vào một buổi sáng và nghĩ, "Điều gì sẽ xảy ra nếu tôi sửa đổi công thức thực của mình để bao gồm căn bậc hai điên rồ đó là -1?" Roger Cotes đã sẵn sàng làm điều đó một cách có ý nghĩa với sự quan tâm của ông về thiên văn học và cơ học thiên thể; quen thuộc với công việc của đồng nghiệp Newton về loạt đại diện của các hàm trig, nghịch đảo của chúng, giải tích và cơ học Newton; sử dụng các bảng logarit được giới thiệu vào đầu những năm 1600 bởi Napier để đối phó với các phép tính với số lượng lớn gặp phải khi khảo sát Trái đất và bầu trời; và làm việc trên phép nội suy (Cotes 'và Newton's).

Hãy để tôi nhấn mạnh một lần nữa rằng Cotes đã quen thuộc với sự nghịch đảo thành phần của Newton của chuỗi lũy thừa (một công thức bao gồm phiên bản khối liên hợp của công thức nghịch đảo Lagrange cho chuỗi chính thức, xem Ferraro bên dưới), bao gồm cả công thức đó cho hàm mũ, và như Griffiths đã lưu ý ' bình luận cho bài đăng " Sự tạo thành logarit " của Freiberger: Nếu không có những bảng logarit này thì sẽ không có lý thuyết của Nicholas Mercator về diện tích dưới một hyperbol đối xứng bằng log của khoảng cách dọc theo trục x, cũng như sự đảo ngược của Isaac Newton của công thức hyperbola để đạt được chuỗi vô hạn đối với hàm antilogarit $e^x$. (Bản đồ Mercator, bắt đầu nhìn thấy các dấu chấm?) Trên thực tế, Ferraro đã thảo luận trên các trang 74 và 75 của "Sự trỗi dậy và phát triển của lý thuyết về chuỗi cho đến đầu những năm 1820" về cách Newton đảo ngược chuỗi lũy thừa cho lôgarit.$-\ln(1-x)$ để có được chuỗi lũy thừa của hàm số $1- e^{-x}$. (Newton với sự thông thạo tuyệt vời về hình học và phân tích của mình chắc chắn sẽ lưu ý đến mối quan hệ định lý hàm số nghịch đảo đơn giản ở đây giữa các đạo hàm của hai chuỗi.)

Do đó, có vẻ như tự nhiên khi sự ra đời của phép tính và sự liên kết của nó với chuỗi lũy thừa và các phép nghịch đảo thành phần, Cotes đã viết ra vào năm 1714, khi Euler 7 tuổi,

$$ ix = \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]$$

một phiên bản sơ khai của công thức tuyệt vời năm 1748 của Euler (xem Wikipedia )

$$ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta).$$

Kiểm tra rõ ràng với đạo hàm (hoặc từ thông) xác minh công thức mà không cần sử dụng hàm mũ một cách rõ ràng

$$ \frac{d}{dx} (ix +constant) = i = \frac{d}{dx} \; \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]= \frac{-\sin(x) + i \cos(x)}{\cos(x) + i \sin(x)},$$

mà tôi chắc chắn là SOP cho Newton và Cotes - ứng dụng của quy tắc chuỗi, hay còn gọi là định lý hàm ngược trong trường hợp này, $dx = df(f^{-1}(x)) = f'(f^{-1}(x)) \; (f^{-1})'(x) \; dx$, điều này thực sự làm cho công thức rõ ràng.

Trong "Lịch sử của các khái niệm hàm mũ và lôgarit", Cajori giải thích cách John Bernoulli xem xét các nghiệm của một phương trình vi phân được chuyển từ số thực sang ảo vào năm 1702 và đưa ra kết quả của Cotes về công thức của ông, công thức mà Cotes xuất bản vào năm 1714 và 1722. Cajori cũng tuyên bố rằng sau đó Euler đã không ngại sử dụng những con số tưởng tượng.

Công thức của Euler như được viết ngày hôm nay phải đợi sự phát triển của Euler và các đồng nghiệp của đại diện biểu tượng của hàm mũ $\exp(z) = e^z$ với $e$là hằng số của Euler, đôi khi được gọi là hằng số Napier vì nó xuất hiện trong các bảng nhật ký của Napier. Điều này là sau khi nhiều phép tính cơ bản của nhật ký đã được giải thích bởi Huygens và những người khác. Hàm mũ đôi khi thậm chí còn được gọi là 'phản hàm số', phản ánh mức độ ưu tiên của nhật ký, như đã lưu ý trong bài đăng nhật ký.

Công thức lôgarit của Cote là một phần mở rộng từ số thực dương sang lĩnh vực số phức của đối số lôgarit theo một cách khá khó khăn hơn là thay thế đơn giản $n$ trong loạt đại diện của $\zeta(n)$ bằng các số thực trên dòng thực và sau đó đến các số khác trong mặt phẳng phức.

Theo bài báo trên Wikipedia trên Cotes, ông đã công bố một định lý quan trọng về gốc rễ của sự thống nhất (và lần đầu tiên đưa ra giá trị của một radian) vào năm 1722 trong "Theoremata tum logometrica tum triogonometrica datarum fluxionum flues Expentia, per methodum mensurarum ulterius Extensam "(Các định lý, một số lôgôt, một số lượng giác, mang lại sự lưu loát của các thông lượng đã cho bằng phương pháp đo được phát triển thêm). Ông hiểu khá rõ về trig, và từ góc độ này, cả công thức của Cotes và Euler đều có thể được coi là sự tiếp nối của các giải pháp của$|x| = 1$vào mặt phẳng phức tạp. Các giải pháp xác định hàm rất đơn giản với miền 1 và -1 và phạm vi 1, sau đó được tiếp tục phân tích dưới dạng một vòng tròn bán kính 1 trong miền phức tạp - một loại nội suy (di chuột qua liên kết nội suy trong Wiki trên Roger Cotes ) thỏa mãn một phương trình hàm đơn giản$|f(x)|=1$. (Các ví dụ khác về kiểu liên tục nội suy / giải tích từ các hàm có miền nguyên rời rạc đến các hàm có miền phức liên tục (liên quan đến nội suy chuỗi Newton và sinc / cardinal) được đưa ra trong MO-Q và MSE-Q này .)

Từ một góc nhìn rộng hơn Công thức log của Cotes là một ví dụ rõ ràng về sự tiếp tục phân tích của log như một ánh xạ từ số thực sang số thực để ánh xạ từ phức sang phức. Tất nhiên, Cotes nhận thức được điều đó (thực sự đã được sử dụng, và sẽ được coi là điều hiển nhiên mà bất kỳ ai quen thuộc với nhật ký cũng biết), vì$u,v > 0$,

$$\ln(u)+\ln(v) = \ln(uv),$$

vì vậy ông đã viết ra phần khó khăn nhất của quá trình tiếp tục phân tích của nhật ký từ số thực dương đến số phức (mặc dù không tính toán một cách rõ ràng về tính đa dạng)

$$\ln(r) + ix = \ln[\; r\; (\;\cos(x) + i \; \sin(x)\;) \;].$$

Refs trong Wikipedia: John Napier , Lịch sử của Logarit , logarithm , Roger Cotes , Công thức Euler , Formula Euler .

Ngoài phép tổng Euler với các đối số phức tạp, Euler là người đầu tiên mở rộng giai thừa cho hàm gamma cho các đối số phức tạp để phát triển phép tính phân số với đại diện tích phân Mellin-Laplace lai của mình cho hàm gamma (xem " Di sản Euler đối với vật lý hiện đại "của Dattoli và Del Franco và MSE-Q đã lưu ý ở trên). Tích phân của Euler cho hàm beta cho phép điều tương tự đối với các hệ số nhị thức tổng quát, điều mà Newton (một lần nữa, đồng nghiệp của Cotes) đã thực hiện để mở rộng thành số thực của hệ số nhị thức nguyên. Thật không may, Euler đã không hiểu đầy đủ về sự mở rộng của số phức (Argand và Wessel đến sau) nếu không anh ta sẽ đánh bại Cauchy, Liouville và Riemann về phép tính phân tích phức.

Để biết về tiền sử của hàm zeta Riemann, hãy xem " Các khía cạnh của lý thuyết hàm Zeta trong các công trình toán học của Adolf Hurwitz " của Oswald và Stefting. Các tác giả không nói liệu 's` là có thật hay phức tạp trong cuộc thảo luận của họ về tiền sử của zeta. Lẽ tự nhiên đối với Euler và những người khác trước khi Riemann cân nhắc$s$phức tạp. Euler có mối liên hệ với lũy thừa của pi đối với các đối số nguyên chẵn của zeta, điều này sẽ gợi ý một kết nối với phức thông qua cả công thức tuyệt vời và công thức phản ánh của anh ấy cho hàm gamma, nhưng sau đó anh ấy không có gì nhiều để thu thập từ quan điểm này mà không có Riemann Đại diện biến đổi Mellin. qua đó Riemann là người đầu tiên thực sự đưa ra các đặc tính mới của zeta, áp dụng công thức phản xạ của Euler để cung cấp cho đường bao Hankel tiếp tục của zeta từ nửa mặt phẳng bên phải đến mặt phẳng phức đầy đủ, và phát triển một thuật toán thông minh để xác định -trivial zero, trong số các phát triển khác.

Một con cá trích đỏ dường như là một nỗ lực thiển cận nhằm tạo ra sự phân đôi nhân tạo giữa nội suy và tiếp tục phân tích. Tôi sử dụng sở thích và kỹ năng nội suy của Cotes (và Newton) trong lĩnh vực thực (chắc chắn liên quan đến quỹ đạo thiên thể gần đúng) để chỉ ra rằng ông ấy có khuynh hướng tạo ra các phép phân tích liên tục. Ngoài ra, không có sự phân đôi. Trong một số câu hỏi MO và MSE, tôi chỉ ra cách nội suy có liên quan đến sự tiếp tục giải tích của giai thừa đối với hàm gamma, các số Bernoulli với Riemann zeta, đa thức Bernoulli với Hurwitz zeta và phép tính cổ điển về lũy thừa số nguyên của đạo hàm chọn các giá trị không phải số nguyên phức tạp, trong số các phép nội suy / AC khác (ví dụ: bắt đầu ở MO-Q này hoặc MO-Q này ). Chúng có thể liên quan đến hàm sinc / nội suy chuỗi cardinal, nội suy khai triển nhị thức và / hoặc nội suy Newton và có thể là những nội suy khác (ví dụ, MO-Q này ). Một số kết hợp phức tạp hơn có liên quan đến định lý Mahler và tham chiếu trong câu trả lời cho MO-Q này . Một khía cạnh trong những món quà của Riemann là cái nhìn sâu sắc của anh ấy về cách điều này liên quan đến sự biến đổi Mellin.

(Để biết sự thiên vị về khả năng tiếp cận, hãy xem Khaneman và Tversky.)