Tính toán quỹ đạo của các lớp liên hợp trong GAP.

Aug 16 2020

Tôi có một nhóm mở rộng $G=N{.}Q$ , $N$nonabelian. Làm cách nào để tính toán quỹ đạo của$Q$ về các lớp liên hợp của $N$trong GAP? Ví dụ, lấy G =$S_5=A_5{:}2$. Đầu vào Gap "Quỹ đạo$(2,A_5)$ sẽ cho 33 quỹ đạo của $C_2$ trên các yếu tố của $A_5$. Làm cách nào để tính toán quỹ đạo của$C_2$ trên các lớp học của $A_5$ trong GAP?

Trả lời

2 ahulpke Aug 16 2020 at 15:58

Giả sử rằng bạn có nhóm $G$ được đưa ra cụ thể với một nhóm con bình thường $N$, bạn có thể làm như vậy bằng cách xác định chức năng của riêng bạn cho hành động (các chức năng như vậy luôn có một phần tử $\omega$ của miền và một phần tử nhóm $g$ và quay lại $\omega^g$:

OnConjugacyClasses:=function(class,g)
  return ConjugacyClass(ActingDomain(class),Representative(class)^g);
end;

Với điều này, bạn có thể tính toán quỹ đạo như bình thường. Trong ví dụ của bạn:

gap> G:=SymmetricGroup(5);;
gap> N:=DerivedSubgroup(G);;
gap> cl:=ConjugacyClasses(N);
[ ()^G, (1,2)(3,4)^G, (1,2,3)^G, (1,2,3,4,5)^G, (1,2,3,5,4)^G ]
gap> OrbitsDomain(G,cl,OnConjugacyClasses);
[ [ ()^G ], [ (1,2)(3,4)^G ], [ (1,2,3)^G ], [ (1,2,3,4,5)^G, (1,2,3,5,4)^G ]
 ]

Nếu bạn thử làm như vậy cho các nhóm lớn hơn, việc chuyển thông tin về người tập trung của người đại diện có thể nhanh hơn, nếu biết:

OnConjugacyClasses:=function(class,g)
local cl;
  cl:=ConjugacyClass(ActingDomain(class),Representative(class)^g);
  if HasStabilizerOfExternalSet(class) then
    SetStabilizerOfExternalSet(cl,StabilizerOfExternalSet(class)^g);
  fi;
  return cl;
end;