Fractals và kích thước của nó

Fractals là những hình dạng điên rồ thể hiện trật tự và các mẫu trong các thiết kế hỗn loạn. Nó có rất nhiều đường cong hấp dẫn. Những mẫu thú vị này đã được nghiên cứu riêng lẻ do tính chất độc đáo của nó. Một trong số đó là tam giác Sierpinki .

Tam giác Sierpinki về cơ bản là một tam giác đều được chia thành 4 tam giác đều (như trong hình bên dưới) và tam giác ở giữa bị loại bỏ. Sau đó, các tam giác phụ đó lại được chia tương tự thành bốn tam giác đều và tam giác chính giữa bị loại bỏ. Quá trình này lặp đi lặp lại vô hạn và trong quá trình đó, tam giác phức nhận được là tam giác Sierpinki. Bây giờ, nếu trong tam giác Pascal, tất cả các số lẻ được tô màu đen và các số chẵn được tô màu trắng, thì cuối cùng bạn nhận được là tam giác Sierpinki. Thật bất ngờ phải không?

Fractals không chỉ là những hình dạng hoặc mô hình ngẫu nhiên được tạo ra bằng toán học. Nó cũng được nhìn thấy trong biểu đồ dân số. Người ta quan sát thấy rằng thực phẩm đang tăng theo tuyến tính, nhưng, dân số đang tăng theo cấp số nhân. Sau đó, người ta phát hiện ra rằng dân số không tiếp tục tăng theo cách này. Nó tăng lên trong một vài năm, sau đó do thiếu lương thực và tài nguyên, nó lại giảm xuống. Quần thể này thay đổi theo một chức năng đơn giản,

[Đặt phương trình trên là (1).]

Trong đó, X là dân số của năm hiện tại và X_next là dân số của năm sau X và r là một hằng số có thể được điều chỉnh theo dân số được lập mô hình. Để quan sát hành vi lâu dài của các hệ thống, công thức này được lặp đi lặp lại nhiều lần và để xem điều gì sẽ xảy ra. Quá trình này được gọi là lặp đi lặp lại.

Phương trình (1) được vẽ bằng cách lấy 'r' là 3,5 và giả định với một tình huống giả định rằng giá trị của X chỉ nằm trong khoảng từ 0 đến 1 và được lặp lại vô tận. Sau đây là biểu đồ thu được:

Biểu đồ này được coi là một fractal vì nó cho thấy tính chất tự đồng dạng trong đó. Khi bạn phóng to 'cửa sổ thứ tự' của biểu đồ, đó là khoảng cách rộng trong biểu đồ, bạn sẽ thấy cùng một biểu đồ ban đầu lại xuất hiện trong cửa sổ đó. Bạn càng phóng to, bạn sẽ thấy cùng một biểu đồ lặp đi lặp lại trong cửa sổ hỗn loạn. Fractal này được gọi là 'Cây vả'.

Như tôi đã đề cập trong một trong những bài viết trước của mình Fractals là những hình dạng thô và không đều. Độ gồ ghề và không đều này có thể được tính toán dễ dàng. Thế nào? Bằng cách tính chiều Fractal của chúng. Felix Hausdorff và Abram Besicovitch phát hiện ra rằng các fractal có kích thước không nguyên. Họ mô tả rằng các fractal là những đường cong có thứ nguyên 'ở giữa' các thứ nguyên nguyên. Do đó, các chiều fractal này còn được gọi là chiều Hausdorff-Besicovitch. Nhưng làm thế nào để tính toán các kích thước này? Có hai phương pháp chính có thể được sử dụng để dễ dàng tính toán kích thước.

Một, bằng cách sử dụng thuộc tính tự tương đồng mà fractal sở hữu. Hãy lấy các hình có kích thước đã biết 1,2 và 3. Đối với kích thước một, hãy lấy một đoạn thẳng có chiều dài 1 đơn vị và thu nhỏ nó xuống 1/4 chiều dài ban đầu. Vậy chiều dài bây giờ là 1/4 đơn vị. Để có được độ dài ban đầu, chúng ta phải nhân 1/4 đoạn thẳng đó với 4 lần. Đặt hệ số, dòng được thu nhỏ lại bằng, là 's', số mà 's' được nhân lên để có được độ dài ban đầu là 'n' và kích thước là 'D'. Vì vậy, bạn sẽ quan sát thấy rằng trong trường hợp này,

Công thức này hợp lệ cho bất kỳ thứ nguyên nào. Giả sử chúng ta cố gắng chứng minh điều này bằng cách sử dụng diện tích của một hình 2 chiều. Vì vậy, chúng ta hãy thu nhỏ mỗi cạnh của một hình vuông có đơn vị chiều dài bằng 1/2 chiều dài ban đầu để diện tích của nó được thu nhỏ lại. 1/4. Như vậy để lấy lại bình phương ban đầu ta cần nhân bình phương thu nhỏ 4 lần.

Do đó, D = 2, đó là thứ nguyên cần thiết.
Tương tự, nó có thể được chứng minh cho một hình dạng 3 chiều.

Do đó, phương trình tổng quát được tìm thấy là,

Phương trình (2) là một trong những công thức có thể được sử dụng để tìm kích thước fractal của một hình. Bây giờ, giả sử chúng ta lấy một đường cong Koch,

Với các giá trị n và s đã cho ở trên, nếu chúng ta cố gắng tính toán thứ nguyên fractal của nó bằng phương trình (2), chúng ta sẽ nhận được xấp xỉ 1,26 . Đây là kích thước của fractal, đường cong Koch.

Hai, bằng cách sử dụng phương pháp đếm lưới.
Trong phương pháp này, bạn chỉ cần vẽ các lưới trên hình ảnh fractal, mỗi ô trong đó có tỷ lệ 1 đơn vị. Sau đó, vẽ lại một lưới trên đó, nhưng lần này mỗi hộp có tỷ lệ 1/2. Một lần nữa, với mỗi hộp có tỷ lệ 1/4. Đếm số hộp mà fractal đi qua. Bạn có thể tính kích thước bằng công thức sau,

trong đó n( ) là số ô vuông chứa hình ảnh và 1/s là tỷ lệ lưới của nó. Bây giờ chúng ta có thể tính Kích thước của đường cong Koch. Đưa ra dưới đây là ba lưới tỷ lệ theo tỷ lệ 1 : 1/2 : 1/4. Qua đếm, lần lượt tìm được số ô của ô thứ nhất, ô thứ hai và ô thứ ba là 18, 41 và 105 ô.

Tính kích thước bằng cách sử dụng lưới tỷ lệ 1 và 1/2,

Tính toán kích thước bằng cách sử dụng lưới tỷ lệ 1 và 1/4,

Tính toán kích thước bằng cách sử dụng lưới tỷ lệ 1/2 và 1/4,

Bằng cách tìm giá trị trung bình của ba giá trị này, người ta thấy nó xấp xỉ 1,27. Giá trị này gần bằng 1,26, là kích thước ban đầu của đường cong Koch.

Vì vậy, đây là hai cách đơn giản để bạn có thể tính toán kích thước fractal của một hình ảnh fractal.