Xác minh chất chống hain tối đa
Theo lý thuyết thứ tự, một antoan (họ Sperner / sự lộn xộn) là một tập con của một tập hợp có thứ tự một phần, với đặc tính là không có hai phần tử nào có thể so sánh được với nhau. Chất chống đông tối đa là chất chống lại hain không được chứa đúng trong một chất chống lại hain khác. Hãy xem tập hợp sức mạnh của$\{1,2,\ldots, n\}$như bộ được đặt hàng một phần của chúng tôi, ở đây thứ tự được đưa ra bằng cách đưa vào. Sau đó, câu hỏi của tôi là, đối với bất kỳ antoàn nhất định nào của tập hợp được mã hóa một phần này, có bất kỳ thuật toán thời gian đa thức nào không (liên quan đến$n$) để xác minh rằng thuốc chống đông máu này có thực sự là "tối đa"? Nói cách khác, xác minh rằng bất kỳ tập hợp con nào của$\{1,2,\ldots, n\}$hoặc được chứa trong, hoặc chứa một số bộ từ thuốc chống hain. Ở đây, thuật toán như vậy phải có thời gian chạy đa thức cho BẤT KỲ anthain nào.
Cập nhật : Để làm rõ, ở đây tôi sẽ coi kích thước của thuốc chống đông máu của chúng tôi là tham số cho thuật toán xác minh. Nói cách khác, câu hỏi của tôi là: có tồn tại một thuật toán xác minh mà thời gian chạy của nó là đa thức trong$n$ và $m$, Ở đâu $m$là kích thước của chất chống hain. Khi kích thước của thuốc chống đông máu của chúng ta$m$ theo cấp số nhân $n$thì thuật toán như vậy là tầm thường (chỉ so sánh từng phần tử một); nhưng khi thuốc chống đông được cung cấp có kích thước O (poly (n)), đây là trường hợp tôi quan tâm. Ví dụ, khi thuốc kháng ha được đưa ra bởi$\{\{1\}, \ldots, \{n\}\}$, chúng tôi chắc chắn không phải làm phép so sánh vũ phu.
Trả lời
Nhận xét. Ban đầu, tôi khẳng định đây là một giải pháp đầy đủ, nhưng điều đó là sai, như Emil thể hiện trong các bình luận. Tuy nhiên, lập luận này chứng minh phiên bản sau yếu hơn.
Tôi có thể chứng minh rằng việc quyết định cho một họ đầu vào là đồng hoàn chỉnh $A$ liệu có một bộ $S$ điều đó không liên quan đến tất cả các bộ trong $A$. Tôi sẽ gọi những gia đình như vậy là tối đa. Điều này cho thấy rằng bất kỳ thuật toán thời gian đa thức nào có thể xảy ra đều phải khai thác rằng họ đầu vào là một phản hồi, đã dành cho các đầu vào có kích thước tuyến tính. Mức giảm của tôi là từ SAT.
Đưa ra một CNF $\Psi$ trên $n$ các biến, chúng tôi chuyển đổi nó thành một họ $A$ kết thúc $2n$ các yếu tố, như vậy $A$ là cực đại nếu và chỉ khi $\Psi$trong không hài lòng. Các$2n$ các phần tử sẽ đi theo cặp, mà tôi biểu thị bằng $i$ và $i'$.
Phần bổ sung của mỗi cặp được chứa trong$A$ bất chấp $\Psi$, vì thế $\overline{11'}\in A$, $\overline{22'}\in A$, ..., $\overline{nn'}\in A$.
Hơn nữa, đối với mỗi mệnh đề, chúng tôi thêm một tập hợp để$A$ như vậy nếu $x_i$ là trong mệnh đề, tập hợp chứa $i$, trong khi nếu $\bar x_i$ là trong mệnh đề, tập hợp chứa $i'$. Ví dụ, mệnh đề$(x_i\vee \bar x_j)$ thêm bộ $ij'$ đến $A$.
Giả sử $\Psi$là hài lòng. Sau đó, để có một đánh giá hài lòng$x$, xác định bộ $S$ như vậy mà $i\in S$ nếu $x_i$ là sai và $i'\in S$ nếu $x_i$là đúng. Thật dễ dàng để kiểm tra điều đó$S$ không liên quan đến bất kỳ phần tử nào của $A$.
Giả sử rằng $A$không phải là cực đại. Chụp một bộ$S$ không liên quan đến bất kỳ phần tử nào của $A$. Định nghĩa$x_i$ là sự thật nếu $i\notin S$ và sai nếu $i'\notin S$, nếu không thì tùy tiện. Định nghĩa này thực sự đúng, như$\overline{ii'}\in A$ ngụ ý rằng $i,i'\in S$là không thể. Thật dễ dàng để kiểm tra điều đó$x$ là một đánh giá thỏa mãn về $\Psi$.