Bằng chứng đơn giản

Một số chẵn cộng với một số chẵn tạo thành một số chẵn.

Một số lẻ cộng với một số lẻ tạo thành một số lẻ.

Một số lẻ cộng với một số chẵn tạo thành một số lẻ.

Có lẽ bạn đã được dạy quy tắc đơn giản đó ở trường tiểu học. Tôi đã. Và nó có vẻ là sự thật. Hãy thử một vài lần, với một vài số khác nhau và nó luôn hoạt động. (Nếu không, hãy kiểm tra công việc của bạn. Nếu nó vẫn không hoạt động, hãy xuất bản.)

Nhưng nó có hoạt động cho tất cả các số không? Cho dù lớn như thế nào?

Sự khác biệt giữa toán học mà chúng ta thường được dạy ở trường và toán học mà các nhà toán học làm là:

1. Ở trường, chúng ta được dạy những loại quy tắc này để chúng ta có thể sử dụng chúng khi 'làm toán'.
2. Các nhà toán học cố gắng khám phá xem các quy tắc là gì và đưa ra các lập luận ngắn gọn, tinh tế nhất có thể để chỉ ra tại sao các quy tắc đó đúng (hoặc không) đúng.

Như Paul Lockhart mô tả một cách thuyết phục (và hài hước) trong bài tiểu luận Lời than thở của một nhà toán học, nghệ thuật tìm kiếm sự thật vừa là toán học thực sự, vừa rất thú vị. Và nó không nhất thiết phải là những bằng chứng chính thức, cứng nhắc đôi khi được dạy ở trường. Nó chỉ là tìm kiếm các mẫu và đưa ra một lập luận tao nhã.

Thay vì nói với những người học trẻ tuổi các quy tắc về tổng các số lẻ và số chẵn, điều gì sẽ xảy ra nếu trước tiên chúng ta yêu cầu họ tìm ra các quy tắc có thể là gì, sau đó yêu cầu họ đưa ra lời giải thích tại sao đó là một quy tắc?

Đây là một ví dụ về kiểu suy nghĩ có thể trở thành 'bằng chứng', đây chỉ là một trong nhiều giải pháp khả thi:

Đầu tiên, chúng ta hãy đếm không phải bằng các chữ số trừu tượng mà bằng các đối tượng hữu hình, trong trường hợp này là hình vuông. Đây là năm hình vuông:

[hình ảnh của một số ô vuông được đặt tùy ý]

Vì một số chẵn có nghĩa là nó có thể được chia cho hai, nên chúng ta biết rằng chúng ta có thể sắp xếp một số chẵn các ô vuông thành hai hàng có cùng độ dài và các đầu cuối sẽ là 'hình vuông':

Mặt khác, một số lẻ sẽ luôn có phần cuối 'rách rưới' nơi các hàng không thẳng hàng:

Sắp xếp lại những bức ảnh này, bây giờ chúng ta có thể thấy rằng các quy tắc của chúng ta dường như là đúng. Hai số chẵn đặt cạnh nhau thì có tận cùng là số chẵn.

Bằng cách lật ngược một số lẻ và dán hai đầu mảnh vụn lại với nhau, hai số lẻ cũng có hai đầu chẵn.

Nhưng một lẻ và một chẵn, cho dù chúng ta lật và xoay như thế nào, không bao giờ cho chúng ta kết thúc chẵn.

Điều này sẽ đúng cho dù các con số của chúng ta dài bao nhiêu, bởi vì tất cả những gì quan trọng là liệu các đầu có bị rách hay vuông. (Những thứ tia chớp đó nhằm gợi ý một khoảng cách tùy ý…hãy tưởng tượng có hàng nghìn ô vuông trong đó.)

QED

Đây có phải là một bằng chứng toán học hợp lệ? Nó có quan trọng không? Một đứa trẻ, hoặc một nhóm trẻ, những người đã dành thời gian để nghĩ ra những loại 'chứng minh' này sẽ phát triển sự hiểu biết và có thể là sự nhiệt tình đối với toán học mà không bài tập thuộc lòng nào có thể mang lại cho chúng. Quan trọng hơn, họ sẽ bắt đầu học “phải làm gì khi bạn không biết phải làm gì.” Đó là sự tự tin để giải quyết các vấn đề mà bạn chưa từng thấy trước đây, thay vì chỉ làm theo các bước của các vấn đề mà bạn gặp phải.