Cách kể hoạt động

Chúng tôi nghiên cứu toán học vì vẻ đẹp của nó, sự sang trọng của nó và khả năng mã hóa các mô hình dệt thành cấu trúc của vũ trụ. Trong những hình vẽ và công thức của nó, trật tự nhận thức thế tục và tôn giáo bắt được tiếng vọng xa của ngôn ngữ tạo vật. Toán học đạt được sự cao siêu; đôi khi, như với tessellations, nó trở thành nghệ thuật .

Tessellation - những bức tranh ghép không có khe hở của các hình dạng xác định - thuộc về một loạt các tỷ lệ, hằng số và mẫu lặp lại trong toàn bộ kiến ​​trúc, tự bộc lộ dưới kính hiển vi và tỏa ra từ mọi tổ ong và hoa hướng dương. Chọn ra bất kỳ số lượng phương trình nào trong hình học, vật lý, xác suất và thống kê, thậm chí cả lý thuyết địa mạo và hỗn loạn, và bạn sẽ thấy số pi (π) nằm như một viên đá tảng. Số (e) của Euler lặp đi lặp lại trong giải tích, tính toán phân rã phóng xạ, công thức lãi kép và một số trường hợp xác suất kỳ quặc nhất định. Tỷ lệ vàng (φ) hình thành nền tảng của nghệ thuật, thiết kế, kiến ​​trúc và âm nhạc từ rất lâu trước khi con người phát hiện ra nó cũng xác định sự sắp xếp tự nhiên của lá và thân, xương, động mạch và hoa hướng dương, hoặc khớp với chu kỳ đồng hồ của sóng não [nguồn:Padovan , Weiss , Roopun ]. Nó thậm chí còn có mối quan hệ với một mẫu lâu năm khác được yêu thích, dãy Fibonacci , tạo ra tiến trình ốp lát độc đáo của riêng nó.

Khoa học, tự nhiên và nghệ thuật cũng bong bóng theo các thuật ngữ. Giống như π, e và φ, các ví dụ về các mẫu lặp lại này bao quanh chúng ta hàng ngày, từ vỉa hè trần tục, hình nền, trò chơi ghép hình và sàn lát gạch cho đến tác phẩm nghệ thuật vĩ đại của nghệ sĩ đồ họa người Hà Lan MC Escher , hoặc tác phẩm gạch ngoạn mục của pháo đài Moorish thế kỷ 14 , Alhambra, ở Granada, Tây Ban Nha. Trên thực tế, từ "tessellation" bắt nguồn từ tessella , dạng nhỏ nhất của từ tessera trong tiếng Latinh , một cá thể, điển hình là hình vuông, xếp trong một bức tranh khảm. Đến lượt mình, Tessera có thể phát sinh từ từ tessares trong tiếng Hy Lạp , có nghĩa là bốn.

Toán học, khoa học và tự nhiên phụ thuộc vào các mô hình hữu ích như thế này, bất kể ý nghĩa của chúng. Ngoài vẻ đẹp siêu việt của một bức tranh khảm hoặc chạm khắc, tessellations tìm thấy các ứng dụng trong toán học, thiên văn học, sinh học, thực vật học, sinh thái học, đồ họa máy tính , khoa học vật liệu và nhiều loại mô phỏng, bao gồm cả hệ thống đường bộ.

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cho bạn thấy những bức tranh ghép toán học này là gì, loại đối xứng nào mà chúng có thể sở hữu và các nhà toán học và nhà khoa học giữ trong hộp công cụ các thủ thuật giải quyết vấn đề của họ.

Đầu tiên, hãy xem cách xây dựng một tessellation.

Tessellations chạy âm giai từ cơ bản đến boggling. Những hình đơn giản nhất bao gồm một hình dạng duy nhất bao phủ một mặt phẳng hai chiều mà không để lại bất kỳ khoảng trống nào. Từ đó, bầu trời là giới hạn, từ các mô hình phức tạp với nhiều hình dạng bất thường cho đến các chất rắn ba chiều khớp với nhau để lấp đầy không gian hoặc thậm chí là các chiều cao hơn .

Ba hình dạng hình học thông thường có hình dạng khác nhau: tam giác đều, hình vuông và hình lục giác. Các hình dạng bốn cạnh khác cũng vậy, bao gồm hình chữ nhật và hình thoi (kim cương). Theo cách mở rộng, các hình tam giác không cạnh nào sẽ xếp liền mạch nếu được đặt quay lưng vào nhau, tạo ra các hình bình hành. Thật kỳ lạ, các hình lục giác có hình dạng bất kỳ đều có hình tam giác nếu các cạnh đối diện của chúng bằng nhau. Do đó, bất kỳ hình dạng bốn cạnh nào cũng có thể tạo thành một bức tranh khảm không có khe hở nếu được đặt quay lưng vào nhau, tạo thành một hình lục giác.

Bạn cũng có thể cắt phẳng một mặt phẳng bằng cách kết hợp các đa giác đều hoặc bằng cách ghép các đa giác đều và bán nguyệt theo cách sắp xếp cụ thể. Đa giác là hình dạng hai chiều được tạo thành từ các đoạn thẳng, chẳng hạn như hình tam giác và hình chữ nhật. Đa giác đều là trường hợp đặc biệt của đa giác trong đó tất cả các cạnh và tất cả các góc đều bằng nhau. Hình tam giác và hình vuông bằng nhau là những ví dụ điển hình về đa giác đều.

Tất cả các câu kể, ngay cả những câu có hình dáng và phức tạp như của MC Escher, đều bắt đầu với một hình dạng lặp lại mà không có khoảng trống. Bí quyết là thay đổi hình dạng - ví dụ, một hình thoi - để nó vẫn vừa khít với nhau. Một cách tiếp cận đơn giản là cắt một hình ra khỏi một mặt và dán nó lên mặt khác. Điều này tạo ra một hình dạng phù hợp với chính nó và dễ dàng xếp chồng lên nhau. Bạn càng thay đổi nhiều mặt, mô hình càng trở nên thú vị.

Nếu bạn cảm thấy mạo hiểm hơn, hãy thử vẽ nguệch ngoạc một đường lượn sóng ở một bên, sau đó sao chép cùng một đường sang phía đối diện. Cách tiếp cận này có thể yêu cầu một số điều chỉnh để các mảnh ghép vào nhau đúng cách. Ví dụ: nếu đa giác của bạn có số cạnh là số lẻ, bạn có thể muốn chia phần còn lại làm đôi rồi vẽ các hình dạng phản chiếu ở hai bên của phần chia. Điều này tạo ra một mặt liên kết với chính nó.

Hãy thử vận ​​may của bạn với hai hoặc nhiều hình dạng có hình răng cưa. Bạn có thể làm điều này theo hình học, hoặc chỉ cần điền vào trang bằng bất kỳ hình dạng nào bạn thích, sau đó tưởng tượng một hình ảnh phù hợp với không gian âm. Một phương pháp liên quan đòi hỏi phải lấp đầy một hình dạng tessellating đã biết bằng các hình dạng nhỏ hơn. Thậm chí còn có những vết nứt gãy - các mẫu hình dạng vừa khít với nhau và tự giống nhau ở nhiều tỷ lệ.

Đừng lo lắng nếu kết quả ban đầu của bạn có vẻ hơi vô lý. Escher đã mất nhiều năm để làm chủ những bức tranh ghép điên rồ này, và thậm chí anh ấy còn có những cách ghép nối không phải lúc nào cũng có ý nghĩa.

Bây giờ chúng ta đã đặt xong nền tảng, hãy cùng xem xét một số thuật toán đặc biệt mà các nhà nghiên cứu sử dụng để giải quyết các vấn đề lý thuyết và ứng dụng phức tạp.

MC Escher

Không có tài năng nghệ thuật nào vượt trội hơn nghệ sĩ đồ họa người Hà Lan MC Escher . Là một nhà in thạch bản, thợ khắc gỗ và thợ khắc, Escher bắt đầu quan tâm đến những hình thù kỳ vĩ sau khi đến thăm Alhambra khi còn trẻ [nguồn: Đại học St. Andrews ].

Mặc dù không phải là người đầu tiên chuyển các phép tessellation từ các hình dạng hình học sang các hình dạng hữu cơ và kỳ ảo, Escher đã tự khẳng định mình là nhà thực hành xuất sắc nhất của nó. Những tác phẩm nghệ thuật huyền ảo, chói lọi và thường không thể thực hiện được của ông vẫn được yêu thích rộng rãi cho đến ngày nay.

Khi các nhà nghiên cứu khám phá các tessellations và xác định chúng bằng toán học, họ đã xác định được một số loại có khả năng giải quyết các vấn đề khó khăn một cách xuất sắc. Một ví dụ phổ biến là Voronoi tessellation ( VT ) còn được gọi là Dirichlet tessellation hoặc Thiessen polygons.

 VT là một thuật toán dựa trên một tập hợp các điểm, giống như các ngôi sao trên biểu đồ. Mỗi điểm được bao quanh bởi một ô đa giác - một hình khép kín được hình thành từ các đoạn đường - bao gồm toàn bộ khu vực gần với điểm xác định của nó hơn bất kỳ điểm nào khác. Ranh giới tế bào (hoặc các đoạn đa giác) cách đều hai điểm; các nút, nơi ba hoặc nhiều ô gặp nhau, cách đều ba điểm xác định trở lên. VTs cũng có thể đáp ứng các kích thước cao hơn.

Mô hình VT kết quả giống như loại tổ ong mà một con ong có thể xây dựng sau khi nấu mật hoa suốt đêm. Tuy nhiên, những gì mà các tế bào cockeyed này thiếu đi vẻ đẹp, chúng không bù đắp được giá trị.

Giống như các tessellations khác, các VT bật lên liên tục trong tự nhiên. Thật dễ hiểu tại sao: Bất kỳ hiện tượng nào liên quan đến các nguồn điểm phát triển cùng nhau với tốc độ không đổi, như bào tử địa y trên đá, sẽ tạo ra cấu trúc giống VT. Tập hợp các bong bóng được kết nối tạo thành VT ba chiều, một điểm tương đồng mà các nhà nghiên cứu tận dụng khi tạo mô hình các bọt.

VT cũng cung cấp một cách hữu ích để trực quan hóa và phân tích các mẫu dữ liệu. Dữ liệu không gian được phân cụm chặt chẽ sẽ nổi bật trên VT khi các khu vực dày đặc các ô. Các nhà thiên văn học sử dụng chất lượng này để hỗ trợ họ xác định các cụm thiên hà .

Bởi vì bộ xử lý máy tính có thể tạo VT nhanh chóng từ dữ liệu nguồn điểm và một tập hợp các hướng dẫn đơn giản, việc sử dụng VT sẽ tiết kiệm cả bộ nhớ và sức mạnh xử lý - những phẩm chất quan trọng để tạo đồ họa máy tính tiên tiến hoặc để mô phỏng các hệ thống phức tạp. Bằng cách giảm bớt các tính toán cần thiết, VTs mở ra cánh cửa cho các nghiên cứu không thể khác, chẳng hạn như sự gấp protein, mô hình tế bào và mô phỏng mô.

Một họ hàng gần với VT, Delaunay tessellation cũng tự hào có nhiều cách sử dụng. Để tạo dấu chấm Delaunay, hãy bắt đầu bằng một VT, sau đó vẽ các đường giữa các chấm xác định ô sao cho mỗi đường mới giao với một đường chia sẻ của hai đa giác Voronoi. Kết quả là mạng hình tam giác mũm mĩm cung cấp một cấu trúc tiện dụng để đơn giản hóa đồ họa và địa hình.

Các nhà toán học và thống kê sử dụng phép toán Delaunay để trả lời các câu hỏi không thể thay đổi, chẳng hạn như giải một phương trình cho mọi điểm trong không gian. Thay vì thử tính toán vô hạn này, họ tính một lời giải cho mỗi ô Delaunay.

Trong bài phát biểu ngày 27 tháng 1 năm 1921 tại Học viện Khoa học Phổ ở Berlin, Einstein nói, "Theo như các định luật toán học đề cập đến thực tế, chúng không chắc chắn; và nếu chúng chắc chắn, chúng không quy chiếu Đến thực tế." Rõ ràng, các phép tính gần đúng được đánh giá không hoàn hảo. Tuy nhiên, chúng cho phép tiến độ bằng cách giảm các vấn đề khó sử dụng về dạng có thể quản lý được bằng sức mạnh tính toán hiện tại. Hơn thế nữa, chúng nhắc nhở chúng ta về vẻ đẹp tiềm ẩn và trật tự của vũ trụ.

Sự đối xứng đáng sợ

Tất cả các mặt phẳng hai chiều có các mẫu lặp lại đều thuộc một trong 17 "nhóm hình nền" mô tả các kiểu đối xứng của chúng (mặc dù không phải tất cả các tessellation đều đối xứng) [nguồn: Joyce ]. Bốn loại chính bao gồm:

1. Translational : Trượt máy bay theo một hướng nhất định và nó vẫn không thay đổi
2. Rotational : Xoay máy bay một góc nào đó và nó vẫn không thay đổi
3. Phản xạ lướt : Trượt mặt phẳng dọc theo một vectơ và phản xạ nó về cùng một vectơ và nó không thay đổi
4. Đối xứng gương (phản xạ đơn giản) : Giữ gương lên một phần của mặt phẳng và gương không thay đổi (trường hợp đặc biệt của phản xạ trượt)

Các bức tranh ghép nổi tiếng của Alhambra có 13 trong số các nhóm đối xứng. Nghệ thuật Ai Cập sử dụng 12 [nguồn: Grünbaum ].

Những bài viết liên quan

Các liên kết tuyệt vời hơn