hằng số Feigenbaum

Bài viết cuối cùng của tôi là một phần giới thiệu rất ngắn về lý thuyết Hỗn loạn , trong đó tôi chủ yếu viết về Hiệu ứng cánh bướm , đó là khái niệm về nơi lý thuyết hỗn loạn bắt đầu. Trước đây tôi đã thảo luận về biểu đồ dân số trong một bài báo của mình . Tôi đã mô tả đồ thị là một fractal được gọi là “cây vả”. Tôi cũng đã đề cập rằng fractals là một phần của lý thuyết hỗn độn. Vì vậy, làm thế nào để sự hỗn loạn cuối cùng hình thành biểu đồ này?

Có một hằng số thực sự nổi tiếng được đề cập cùng với các hằng số toán học nổi tiếng khác như π, sqrt{2}, e, i, v.v. Cá nhân tôi chưa bao giờ nghe nói về nó trước đây, cho đến gần đây. Hằng số này được gọi là “ Hằng số Feigenbaum ”, nó có giá trị là δ = 4,6692016……., có nghĩa là nó vô tỉ như π hoặc e. Có hai hằng số Feigenbaum. Cái còn lại được gọi là ký hiệu là α, nhưng, đó là một câu chuyện khác mà tôi sẽ không nói đến trong bài viết này.

Vào khoảng những năm 1970, một nhà khoa học tên là Robert May đã viết một bài báo trong đó ông đã viết một phương trình mô hình hóa sự gia tăng dân số. Phương trình như sau:

Trong đó, x_(n+1) là dân số năm tới, x_n là dân số hiện tại và λ là mức sinh. Phương trình này là một bản đồ hậu cần hoặc chỉ là một chức năng cho sự gia tăng dân số. Vì vậy, về cơ bản, sử dụng phương trình này, chúng ta có thể dự đoán dân số của một cộng đồng vào năm tới. Tôi đã nói rằng λ giống như khả năng sinh sản của dân số. Vì vậy, nếu giá trị của nó cao thì khả năng sinh sản cao, nhưng nếu nó thấp thì khả năng sinh sản thấp. Giá trị của λ nằm trong khoảng từ 0 đến 1 trong đó, 0 có nghĩa là không sinh sản và 1 nghĩa là sinh sản hoàn toàn.

Giờ đây, các nhà khoa học quan tâm đến sự gia tăng dân số đã lặp lại biểu đồ này để quan sát sự thay đổi của dân số trong tương lai. Ở RHS hoặc Bên tay phải của phương trình đã cho, x_n là sự sống, trong khi (1 — x_n) là cái chết.

Được chứ. Bây giờ hãy lấy bất kỳ giá trị nào cho x_1. Đặt nó là 0,5, nghĩa là dân số là một nửa. Tôi đang lấy giá trị của λ là 2,3.

Vì vậy, nếu chúng ta tính dân số của những năm tiếp theo bằng phương trình, tức là x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_10, x_11, sẽ là

lần lượt là 0,575, 0,5621, 0,5661, 0,5649, 0,5653, 0,5652, 0,5652, 0,5652, 0,5652, 0,5652.

Bạn có thể quan sát rằng giá trị đã trở thành hằng số. Nói cách khác, sự gia tăng dân số đã ổn định. Đây được gọi là điểm cố định trong phép lặp.

Điều gì xảy ra nếu chúng ta thay đổi λ. Hãy chọn một λ rất nhỏ, nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Giả sử 0,65. Bằng trực giác, rõ ràng điều gì sẽ xảy ra nếu mức sinh rất thấp. Tuy nhiên, hãy vẫn tính toán giữ lại x_1 là 0,5. Khi tôi tính toán x_2, x_3, x_4….. sau đây là các giá trị tôi đã tính toán.

0,1625, 0,0885, 0,0524, 0,0323, 0,0203, 0,0129, 0,0083, 0,0053, 0,0035, 0,0022, 0,0015, 0,0009, 0,0006, 0,0004, 0,0003, 0,0002, 0,0002

Dân số đã chết.

Điều gì sẽ xảy ra nếu tôi lấy giá trị sinh cao hơn, chẳng hạn như 3,2 ?

Tôi đã tính toán lại với x_1 là 0,5, sau nhiều lần lặp lại, tôi nhận thấy rằng các giá trị đang diễn ra như sau,

0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304,….. Dân số ổn định, nhưng, ổn định ở 2 giá trị.

Bây giờ tôi sẽ lấy một giá trị được chọn cẩn thận của λ, là 3,5.

Với x_1 là 0,5, một lần nữa thực hiện các phép tính, tôi nhận thấy rằng các giá trị, sau nhiều lần lặp lại, đang diễn ra như sau,

0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,38281, 0,38,8,0.5….

Lần này, giá trị ổn định ở 4 giá trị.

Bây giờ hãy vẽ đồ thị từ tất cả các trường hợp mà chúng ta đã thấy.

a) Khi dân cư ổn định

b) Khi quần thể bị chết

c) Khi dân số bị trả lại giữa hai giá trị

d) Khi dân số bị trả lại giữa bốn giá trị

Bây giờ, với kết quả có được, chúng ta sẽ vẽ đồ thị với λ trên trục x và dân số trên trục y. Sau đây là những gì bạn sẽ nhận được:

Khi λ = 3,2, chúng ta có hai giá trị đang lặp lại. Vì vậy, bạn sẽ nhận thấy rằng đồ thị chia đôi ở đó. 'Bifurcate' chỉ là một cách phức tạp để nói rằng biểu đồ rẽ nhánh. Tương tự, ở khoảng 3,5, nó lại chia đôi thành bốn. Điều này tiếp tục nhưng, với tốc độ nhanh hơn nhiều. Bây giờ, đồ thị sẽ phân nhánh thậm chí còn nhanh hơn với những thay đổi rất nhỏ của chính λ. Sau một thời gian, biểu đồ cho thấy một điều gì đó phi thường khi chúng ta đi xa hơn về bên phải. Nhưng, trước đó, hãy để tôi định nghĩa cái mà tôi đã bắt đầu bài viết này, hằng số Feigenbaum.

Như thể hiện trong sơ đồ trên, nếu tôi lấy hai độ dài liên tiếp bất kỳ của mỗi đường phân nhánh của đồ thị và tìm tỷ lệ của nó, bạn sẽ nhận được một giá trị vô tỷ không đổi, 4,6692016…….

Đây là hằng số Feigenbaum. Có nghĩa là độ dài của một nhánh là 4,6692016……. nhỏ hơn lần trước. Feigenbaum phát hiện ra rằng nếu bạn lấy bất kỳ phương trình bậc hai nào như phương trình dân số, bạn có thể tạo một đồ thị nhân đôi chu kỳ chỉ bằng cách thay đổi các tham số. Và, bằng cách lấy tỷ lệ độ dài của hai đường phân giác liên tiếp, bạn sẽ nhận được cùng một số cho bất kỳ phương trình bậc hai nào.

Sau đây là số phận của đồ thị sau khoảng λ = 3,59.

Biểu đồ trở nên điên cuồng, hay đúng hơn là hỗn loạn. Mặc dù đồ thị này được phát hiện trước cả khi lý thuyết hỗn loạn được biết đến. Hằng số và đồ thị này vì thế đã được sử dụng rất nhiều trong quá trình nghiên cứu nó. Sự hỗn loạn rất nhạy cảm với các điều kiện ban đầu tạo ra những thay đổi lớn, như được giải thích bởi hiệu ứng Cánh bướm. Tương tự, ở đây, một thay đổi rất nhỏ trong λ có thể gây ra những thay đổi điên cuồng trong đồ thị. Cùng với hiệu ứng Cánh bướm, đây là sự khởi đầu của lý thuyết hỗn loạn.