Hằng số Euler

“e”. Tất cả chúng ta đã đi qua "e". Nó là gì?

Đây là bảng chữ cái thứ 5 và nguyên âm thứ 2 trong tiếng Anh. Đó là những gì chúng ta nói khi cho ai đó thấy răng của mình. Nhưng, các nhà toán học nhận ra nó là hằng số Euler . Cùng với các hằng số toán học quan trọng khác như π , i, Φ , sqrt{2}, v.v., hằng số vô tỷ này có giá trị là 2,718281828459045235……

Hầu hết các hằng số toán học là hình học. Ví dụ: π là tỷ lệ giữa chu vi của một hình tròn với đường kính của nó, sqrt{2} là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông có các cạnh đo bằng một đơn vị. Tuy nhiên, “e” là một hằng số không được xác định bởi hình học hay bất kỳ hình dạng nào. Nó dựa trên tốc độ tăng trưởng hoặc tốc độ thay đổi. Nhưng bằng cách nào?

Hãy quay trở lại thế kỷ 17, khi Jacob Bernoulli nghiên cứu về lãi suất kép, tức là thu lãi từ tiền của bạn.

Giả sử, bạn là thành viên của một ngân hàng, một ngân hàng rất hào phóng. Giả sử bạn đưa cho ngân hàng ₹1 và ngân hàng trả lãi 100% mỗi năm. (Thực sự là một ngân hàng rất hào phóng). Vì vậy, bây giờ, vào cuối năm, bạn sẽ có ₹2. Vì vậy, nếu bạn nhận được lãi suất 50% mỗi 6 tháng, liệu bạn có nhận được số tiền tương tự, ₹2 không? Hay hơn thế nữa? hoặc ít hơn thế? Hãy tính toán và xem, phải không?

Chà, điều này cho thấy rằng nếu bạn nhận lãi suất 50% mỗi 6 tháng, nó sẽ giúp bạn kiếm được nhiều tiền hơn so với lãi suất 100% mỗi năm. Còn nếu bạn nhận lãi 1/12 mỗi tháng thì sao?

Sau đó, nó sẽ được,

Nếu 1/52 tiền lãi được đưa ra mỗi tuần, số tiền cuối cùng của bạn sẽ là,

Còn về tiền lãi 1/365 mỗi ngày, thì số tiền của bạn vào cuối năm sau khi đưa ₹ 1 cho ngân hàng sẽ là,

Bạn có thể tính toán tương tự số tiền bạn nhận được trong mỗi giờ, mỗi phút, mỗi giây hoặc thậm chí mỗi mili giây!

Vì vậy, những gì bạn quan sát? Giá trị được tính khi n tăng theo công thức chung, như

Vì vậy, bạn có thể nhận thấy rằng khi giá trị của n tăng lên, giá trị đó ngày càng tiến gần đến một giá trị nhất định. Đây là giá trị của “e”.

Nhưng, Jacob Bernoulli đã không tính giá trị của hằng số. Anh ta chỉ biết rằng giá trị của nó sẽ ở đâu đó trong khoảng từ 2 đến 3. Chính Euler là người cuối cùng đã tính được hằng số này và chứng minh rằng nó là vô tỷ. Ông đã sử dụng một công thức để tính toán giá trị, không

Nhưng một công thức khác. Ông đã sử dụng công thức sau đây.

Đây là một phân số tiếp tục . Bạn có thể nói rằng khi nó tiếp tục mãi mãi, thì có một quy luật cho phân số này, 2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,……Vì vậy, nếu nó cứ tiếp tục mãi mãi, thì nó là một phân số vô tỉ. Nếu nó có kết thúc, nó sẽ hợp lý vì bạn có thể viết nó dưới dạng phân số. Do đó, điều này chứng tỏ rằng “e” là một hằng số vô tỷ.

Để tính giá trị của “e”, Euler đã sử dụng một công thức khác. Đó là,

“e”, là ngôn ngữ tự nhiên của sự phát triển, nó là ngôn ngữ tự nhiên của phép tính. Tại sao?

Hình trên cho thấy đồ thị của e^x. Bây giờ, điểm đặc biệt của biểu đồ e^x là, nếu bạn lấy bất kỳ điểm nào trên biểu đồ, giá trị của điểm đó là e^x, độ dốc tại điểm đó là e^x và diện tích bên dưới biểu đồ tính từ điểm đó trở đi đến -∞ cũng là e^x. Do đó, khi bạn lấy tích phân hoặc vi phân e^x, bạn sẽ nhận được chính e^x. Hằng số “e” này tạo thành một công cụ rất mạnh trong giải tích.

Hằng số “e” của Euler cũng được biết là mang một số hằng số lớn trong toán học lại với nhau trong một công thức, đó là căn của -1, tức là i, π, 1 và 0. Đây cũng nhiều lần được gọi là hằng số lớn nhất. phương trình đẹp trong Toán học:

Tôi sẽ viết thêm về phương trình này trong một bài viết sắp tới.