Nếu bạn chỉ nhớ một cách mơ hồ về lớp toán cấp tiểu học của mình, bạn có thể không nhớ số nguyên tố là gì. Thật đáng tiếc, vì nếu bạn đang cố gắng giữ an toàn cho email của mình khỏi tin tặc hoặc lướt web một cách bí mật trên mạng riêng ảo (VPN), bạn đang sử dụng các số nguyên tố mà không hề nhận ra.
Đó là bởi vì số nguyên tố là một phần quan trọng của mã hóa RSA , một công cụ phổ biến để bảo vệ thông tin, sử dụng các số nguyên tố làm khóa để mở khóa các thông điệp ẩn bên trong một lượng khổng lồ của những gì được ngụy trang dưới dạng vô nghĩa kỹ thuật số. Ngoài ra, số nguyên tố còn có những ứng dụng khác trong thế giới công nghệ hiện đại, bao gồm một vai trò quan trọng trong việc xác định cường độ màu của các pixel trên màn hình máy tính mà bạn đang nhìn vào lúc này.
Vậy, số nguyên tố là gì? Và làm thế nào mà chúng trở nên quan trọng như vậy trong thế giới hiện đại?
Như Wolfram MathWorld giải thích , một số nguyên tố - còn được gọi đơn giản là một số nguyên tố - là một số dương lớn hơn 1 mà chỉ có thể chia cho một và chính nó.
"Số nguyên tố chẵn duy nhất là 2", Debi Mink , một phó giáo sư giáo dục gần đây đã nghỉ hưu tại Đại học Indiana Đông Nam, người có chuyên môn bao gồm giảng dạy toán tiểu học, giải thích. "Tất cả các số nguyên tố khác là số lẻ."
Các số như 2, 3, 5, 7, 11, 13 và 17 đều được coi là số nguyên tố. Các số như 4, 6, 8, 9, 10 và 12 thì không.
Mark Zegarelli, tác giả của nhiều cuốn sách về toán học trong bộ sách nổi tiếng "For Dummies", người cũng dạy các khóa luyện thi, đưa ra một minh họa liên quan đến các đồng xu mà anh ấy sử dụng với một số học sinh của mình để giải thích sự khác biệt giữa số nguyên tố và số tổng hợp , có thể là chia cho các số khác ngoài một và chính chúng. (Các số tổng hợp ngược lại với các số nguyên tố.)
“Hãy nghĩ về số 6,” Zegarelli nói, trích dẫn một số tổng hợp. "Hãy tưởng tượng rằng bạn có sáu đồng xu. Bạn có thể xếp chúng thành một hình chữ nhật, với hai hàng gồm ba đồng xu. Bạn cũng có thể làm điều đó với tám đồng xu bằng cách đặt bốn đồng xu thành hai hàng. Với số 12, bạn có thể thành nhiều hơn một loại hình chữ nhật - bạn có thể có hai hàng sáu đồng xu, hoặc ba nhân bốn lần. "
“Nhưng nếu bạn lấy số 5, dù bạn cố gắng thế nào, bạn cũng không thể xếp nó thành hình chữ nhật”, Zegarelli lưu ý. "Điều tốt nhất bạn có thể làm là xâu chuỗi nó thành một dòng, một hàng duy nhất gồm năm đồng xu. Vì vậy, bạn có thể gọi 5 là một số không phải hình chữ nhật. Nhưng cách dễ dàng hơn để nói điều đó là gọi nó là một số nguyên tố."
Có rất nhiều số nguyên tố khác - 2, 3, 7 và 11 cũng có trong danh sách, và nó tiếp tục cuộn từ đó. Nhà toán học Hy Lạp Euclid, vào khoảng năm 300 trước Công nguyên, đã phát minh ra Chứng minh về tính vô hạn của các số nguyên tố, đây có thể là chứng minh toán học đầu tiên cho thấy rằng có vô số số nguyên tố. (Ở Hy Lạp cổ đại, nơi khái niệm hiện đại về vô hạn chưa được hiểu rõ ràng, Euclid đã mô tả số lượng các số nguyên tố đơn giản là "nhiều hơn bất kỳ vô số các số nguyên tố được gán" )
Zegarelli nói rằng một cách khác để hiểu số nguyên tố và số tổng hợp là coi chúng là sản phẩm của các thừa số. "2 nhân 3 bằng 6, vì vậy 2 và 3 là thừa số của 6. Vì vậy, có hai cách để tạo thành sáu - 1 nhân 6 và 2 nhân 3. Tôi muốn coi chúng là các cặp thừa số. Vì vậy, với một tổng hợp số, bạn có nhiều cặp thừa số, trong khi với số nguyên tố, bạn chỉ có một cặp thừa số, một lần chính số đó. "
Zegarelli nói rằng việc chứng minh rằng số lượng các số nguyên tố là vô hạn không phải là quá khó. "Hãy tưởng tượng rằng có một số nguyên tố cuối cùng, lớn nhất. Chúng ta sẽ gọi nó là P. Vì vậy, sau đó tôi sẽ lấy tất cả các số nguyên tố lên đến P và nhân tất cả chúng với nhau. Nếu tôi làm như vậy và thêm một vào tích , số đó phải là số nguyên tố. "
Ngược lại, nếu một số là hợp số, nó luôn chia hết cho một số lượng các số nguyên tố thấp hơn. "Một tổng hợp cũng có thể chia hết cho các tổng hợp khác, nhưng cuối cùng, bạn có thể phân tích nó thành một tập hợp các số nguyên tố." (Ví dụ: số 48 có 6 và 8 là thừa số, nhưng bạn có thể chia nhỏ nó thành 2 lần 3 lần 2 lần 2 lần 2.)
Tại sao các số nguyên tố lại quan trọng
Vậy tại sao số nguyên tố lại khiến các nhà toán học say mê như vậy trong hàng nghìn năm? Như Zegarelli giải thích, rất nhiều toán học cao cấp dựa trên các số nguyên tố. Nhưng cũng có mật mã, trong đó các số nguyên tố có một tầm quan trọng thiết yếu, bởi vì các số thực sự lớn có một đặc tính đặc biệt có giá trị. Ông nói, không có cách nào nhanh chóng và dễ dàng để biết chúng là nguyên tố hay hỗn hợp.
Khó khăn trong việc phân biệt giữa các số nguyên tố lớn và các vật liệu tổng hợp khổng lồ khiến một nhà mật mã học có thể đưa ra các số tổng hợp khổng lồ là thừa số của hai số nguyên tố thực sự lớn, bao gồm hàng trăm chữ số.
“Hãy tưởng tượng rằng ổ khóa trên cửa của bạn là một con số 400 chữ số,” Zegarelli nói. "Chìa khóa là một trong số 200 chữ số được sử dụng để tạo ra 400 chữ số đó. Nếu tôi có một trong những yếu tố đó trong túi, tôi đã có chìa khóa vào nhà." Nhưng nếu bạn không Không có những yếu tố đó, rất khó để vào được.
Đó là lý do tại sao các nhà toán học đã tiếp tục lao động để tìm ra các số nguyên tố ngày càng lớn hơn, trong một dự án đang được thực hiện có tên là Great Internet Mersenne Prime Search . Vào năm 2018, dự án đó đã dẫn đến việc phát hiện ra một số nguyên tố bao gồm 23.249.425 chữ số, đủ để lấp đầy 9.000 trang sách, như nhà toán học Ittay Weiss của Đại học Portsmouth (Anh) đã mô tả nó trong The Conversation . Phải mất 14 năm tính toán để đưa ra số nguyên tố khổng lồ, lớn hơn 230.000 lần so với số nguyên tử ước tính trong vũ trụ có thể quan sát được!
Bạn có thể tưởng tượng Euclid có thể ấn tượng như thế nào về điều đó.
Bây giờ thật tuyệt
Mặc dù nhiều người tin rằng các số nguyên tố là ngẫu nhiên, nhưng trong một bài báo năm 2016, hai nhà toán học của Đại học Stanford đã mô tả một dạng biểu kiến chưa từng biết trước đây, trong đó các số nguyên tố có xu hướng được theo sau bởi các số nguyên tố khác kết thúc bằng các chữ số nhất định, như bài báo trên Wired này nêu chi tiết. Ví dụ, trong số tỷ số nguyên tố đầu tiên, số nguyên tố kết thúc bằng 9 có khả năng được theo sau bởi một số nguyên tố hơn khoảng 65% so với số nguyên tố kết thúc bằng chín.
