Khi bạn nghe thấy những từ "hợp lý" và "phi lý", bạn có thể nghĩ đến sự khác biệt giữa ông Spock lạnh lùng, không ngừng phân tích và Tiến sĩ "Bones" McCoy cứng đầu, dễ thay đổi về cảm xúc trong "Star Trek" vũ trụ truyền hình và điện ảnh. Tuy nhiên, trừ khi bạn là một nhà toán học , bạn có thể không nghĩ đến tỷ lệ giữa số nguyên và căn bậc hai, thứ khiến những người không phải là nhà toán học trong chúng ta cảm thấy bối rối như khi chúng ta nghe "Bohemian Rhapsody" của Queen hát ở Klingon .
Nhưng trong lĩnh vực toán học, nơi mà các từ đôi khi có ý nghĩa cụ thể rất khác với cách sử dụng hàng ngày, sự khác biệt giữa số hữu tỉ và số vô tỉ không liên quan gì đến lý luận và logic so với những thôi thúc cảm xúc thô thiển.
Ghi nhớ từ 'Tỷ lệ'
Eric D. Kolaczyk giải thích: “Để ghi nhớ sự khác biệt giữa số hữu tỉ và số vô tỉ, hãy nghĩ một từ: tỉ lệ . Ông là giáo sư khoa toán và thống kê tại Đại học Boston và là giám đốc Viện Khoa học và Kỹ thuật Máy tính và Máy tính Rafik B. Hariri của trường đại học này .
"Nếu bạn có thể viết một số dưới dạng tỷ số của hai số nguyên (ví dụ: 1 trên 10, -5 trên 23, 1.543 trên 10, v.v.) thì chúng tôi xếp nó vào loại số hữu tỉ", Kolaczyk giải thích trong một email. "Nếu không, chúng ta nói là phi lý."
Bạn có thể biểu thị một số nguyên hoặc một phân số - các phần của số nguyên - dưới dạng tỷ lệ, với một số nguyên được gọi là tử số nằm trên một số nguyên khác được gọi là mẫu số. Bạn chia mẫu số cho tử số. Điều đó có thể cung cấp cho bạn một số chẳng hạn như 1/4 hoặc 500/10 (hay còn gọi là 50).
Số vô tỉ, trái ngược với số hữu tỉ, khá phức tạp. Như Wolfram MathWorld giải thích, chúng không thể được biểu thị bằng phân số và khi bạn cố gắng viết chúng dưới dạng số với dấu thập phân , các chữ số cứ tiếp tục lặp đi lặp lại mà không bao giờ dừng lại hoặc lặp lại một mẫu.
Vậy loại số nào hoạt động theo kiểu điên rồ như vậy? Về cơ bản, những thứ mô tả những thứ phức tạp. Có lẽ số vô tỉ nổi tiếng nhất là số pi - đôi khi được viết là π, chữ cái trong tiếng Hy Lạp là p - biểu thị tỷ số giữa chu vi hình tròn với đường kính của hình tròn đó. Như nhà toán học Steven Bogart đã giải thích trong bài báo Khoa học Mỹ năm 1999 rằng tỷ lệ pi sẽ luôn bằng nhau, bất kể kích thước của hình tròn. Kể từ những nỗ lực sớm nhấtđể tính số pi đã được thực hiện bởi các nhà toán học Babylon gần 4.000 năm trước, các thế hệ toán học kế tiếp đã không ngừng rút lui và tạo ra các chuỗi số thập phân dài hơn và dài hơn với các mẫu không lặp lại. Vào năm 2019, nhà nghiên cứu Hakura Iwao của Google đã quản lý để mở rộng số pi lên 31.415.926.535.897 chữ số, như bài báo này trên Cnet nêu chi tiết.
Đôi khi, căn bậc hai - nghĩa là, một thừa số của một số, khi nhân với chính nó, tạo ra số mà bạn bắt đầu - là số vô tỉ, trừ khi nó là một bình phương hoàn hảo là một số nguyên, chẳng hạn như 4, căn bậc hai của 16. Một trong những ví dụ dễ thấy nhất là căn bậc hai của 2 , tính ra 1,414 cộng với một chuỗi vô tận các chữ số không lặp lại. Giá trị đó tương ứng với độ dài của đường chéo trong một hình vuông, như được người Hy Lạp cổ đại mô tả đầu tiên trong định lý Pitago .
Tại sao chúng ta sử dụng các từ 'hợp lý' và 'không hợp lý'?
Tại sao chúng ta gọi chúng là hợp lý và không hợp lý? Điều đó có vẻ là một chút âm u. Kolaczyk nói: "Chúng tôi thực sự thường sử dụng 'hợp lý' để có nghĩa là một cái gì đó giống như dựa trên lý trí hoặc tương tự." "Việc sử dụng nó trong toán học dường như đã bắt đầu xuất hiện ngay từ những năm 1200 trong các nguồn của Anh (theo Từ điển tiếng Anh Oxford). Nếu bạn truy nguyên cả 'tỷ lệ hợp lý' và 'tỷ lệ' về nguồn gốc Latinh của chúng, bạn thấy rằng trong cả hai trường hợp, gốc là về 'lý luận,' nói một cách rộng rãi. "
Điều rõ ràng hơn là cả số hữu tỉ và số vô tỉ đều đóng những vai trò quan trọng trong sự phát triển của nền văn minh. Mark Zegarelli , một gia sư toán học và là tác giả đã viết 10 cuốn sách trong series "For Dummies" , giải thích : Ông nói, những người săn lùng hái lượm có lẽ không cần nhiều đến độ chính xác về số lượng, ngoài khả năng ước tính và so sánh đại khái các số lượng.
Zegarelli nói: “Họ cần những khái niệm như“ chúng ta không còn táo nữa ”. "Họ không cần biết, 'chúng tôi có chính xác 152 quả táo.'"
Nhưng khi con người bắt đầu khoét những mảnh đất để tạo ra nông trại, xây dựng thành phố và sản xuất và buôn bán hàng hóa, đi xa nhà của họ hơn, họ cần một phép toán phức tạp hơn.
Kolaczyk nói: “Giả sử bạn xây một ngôi nhà có mái mà phần nhô ra có chiều dài bằng với chiều dài từ chân đế ở điểm cao nhất của nó. "Bản thân độ dài của bề mặt mái từ trên xuống đến mép ngoài là bao nhiêu? Luôn luôn là hệ số của căn bậc hai của độ tăng (chạy). Và đó cũng là một số vô tỉ."
Theo Carrie Manore , trong thế kỷ 21 công nghệ tiên tiến, các số vô tỉ tiếp tục đóng một vai trò quan trọng . Cô ấy là một nhà khoa học và một nhà toán học trong Nhóm Mô hình và Hệ thống Thông tin tại Phòng thí nghiệm Quốc gia Los Alamos .
"Pi là một con số vô lý đầu tiên rõ ràng để nói về", Manore nói qua email. "Chúng tôi cần nó để xác định diện tích và chu vi của các vòng tròn. Nó rất quan trọng đối với các góc tính toán và các góc rất quan trọng đối với điều hướng, xây dựng, khảo sát, kỹ thuật và hơn thế nữa. Truyền thông tần số vô tuyến phụ thuộc vào các sin và cosin liên quan đến số pi." Ngoài ra, các số vô tỷ đóng một vai trò quan trọng trong phép toán phức tạp, giúp thực hiện giao dịch chứng khoán với tần suất cao, mô hình hóa, dự báo và phân tích thống kê nhất - tất cả các hoạt động khiến xã hội của chúng ta luôn ồn ào.
Danh sách có thể tiếp tục. "Trên thực tế, trong thế giới hiện đại của chúng ta, thay vào đó, hầu như có lý khi đặt câu hỏi, những số vô tỉ KHÔNG được sử dụng ở đâu?" Manore nói.
Bây giờ điều đó thật thú vị
Về mặt tính toán, "chúng tôi thực sự luôn luôn sử dụng xấp xỉ của những số vô tỷ này để giải quyết vấn đề", Manore giải thích. " Những phép gần đúng đó là hợp lý vì máy tính chỉ có thể tính toán với độ chính xác nhất định. Mặc dù khái niệm số vô tỷ phổ biến trong khoa học và kỹ thuật, người ta có thể tranh luận rằng trên thực tế chúng ta chưa bao giờ thực sự sử dụng một số vô tỷ thực sự trong thực tế."
